합동인 삼각형에서 대응하는 부분은 합동입니다.

'합동'에 대해서 조금 이야기해봅시다 '합동'이란 것은 그냥 도형의 모양이 같은 것이라고 생각하면 됩니다 대수학에서 어떤 것이 다른 것과 같다는 것은 그것들의 값이 같다는 것을 의미합니다 하지만, 모양에 대해서 이야기 할때는, 그리고 그 모양들이 같다고 이야기 할때는, 도형들의 모양과 크기가 같아야 합니다 그때야 비로소 그 도형들이 합동이라고 말할 수 있는 겁니다 그리고 여기에서 바로 간단한 예를 들어보도록 하죠 바로 저기에 이런 삼각형이 있구요, 그리고 또 바로 요런 삼각형이 있다고 가정해 봅시다 여러분이 이 삼각형을 이동시킬 수 있다면, 또는 회전시킬 수 있고, 뒤집을 수 있다면, 여러분은 그걸 이 삼각형과 완전히 같게 만들 수 있습니다 여러분이 어떠한 변의 길이나, 여기 이 각도들을 바꾸지 않는 한 말이죠 하지만, 여러분은 뒤집고, 이동시키고, 회전시킬 수는 있습니다 이걸 한 번 적어보겠습니다 그래서 여러분은 이동시키고, 뒤집고, 회전 시킬 수 있습니다 여러분이 이 세 가지의 과정을 통해서 정확히 이러한 똑같은 삼각형들을 만들 수 있다면, 그러면 그 둘은 합동입니다 그리고 삼각형이 서로 합동이라고 말할 때는.. 이 삼각형에 기호를 잠깐 붙여보죠 이 삼각형을 ABC라고 하고, 그리고 이제 이 삼각형을 XYZ 라고 합시다 그래서, 우리가 이 두 삼각형이 합동이라고 하면, 즉, 이 삼각형 ABC가... 합동이라는 것을 나타날 때는 이런 =과 비슷한 기호를 사용합니다 하지만 = 기호위에 뭔가 좀 더 구부러진 기호가 있죠 좀 더 예쁘게 적어보겠습니다. 그래서.. 이렇게 적어야 되겠죠 이렇게 이 삼각형 ABC가 삼각형 XYZ와 합동이라는 것은, 각각의 대응하는 변들이 같은 길이를 갖는다는 것을 의미하고, 각각의 대응하는 각 또한 같은 값을 갖는다는 것을 의미합니다 우리가 삼각형 ABC와 XYZ가 합동이라고 가정하면 그러면 우리는, 예를 들어, 변 AB가 변 XY와 같다는 것을 즉, 변 AB의 길이와 XY의 길이가 같다는 것을 알 수 있죠 바로 이런 식으로 할 수 있겠고, 변 AB와 변 XY는 서로 대응한다고 볼 수 있습니다. 그러면 여러분은 우리가 사실상 이 삼각형들을 정의 내렸다는 걸 확인 할 수 있을 겁니다 그래서 A는 X에 대응되고, B는 Y에, C는 Z에 각각 대응됩니다 변 AB는 변 XY와 같은 길이를 갖게 될 것이고, 만약 색깔로 표시하기가 어려운 경우에는 이렇게 표시해서 같다는 것을 나타내면 되겠죠 그래서 이 두 선분의 길이는 같은 길이를 갖습니다 그래서 이렇게도 말할 수 있겠네요, 항상 이런 식으로 적혀져 있는 게 아니기 때문에, 선분 AB가, 선분 XY와 합동이라고도 말할 수 있는 거죠 그렇지만 선분이 합동이라는 건 그냥 서로 길이가 같다는 의미랑 같은 것입니다 결국 이 두 가지 표시는 같은 의미인 셈입니다 정리하면 한 선분이 다른 선분과 합동이라는 것은, 한 선분의 길이 값이 다른 선분의 길이의 값과 같다는 이야기입니다 그래서 모든 대응변들에 이런 방식을 적용해 나갈 수 있겠습니다 이 두 도형의 특징들이 서로 합동이면 우리는 또 변 BC의 길이가 곧 변 YZ의 길이가 된다는 것을 알 수 있게 되겠죠 이 두 변이 서로 대응변이라고 가정한다면 말입니다 그리고 여기에는 이렇게 두 번 가른 표시를 해 줄 수 있겠죠 이 두 개의 변의 길이가 같다는 걸 표시해두는 용도입니다 그리고 세 번째 변들을 보면, 우리는 또 이 두 변이 같은 길이라는 것을 알 수 있습니다 혹은 이 두 변이 합동한다고 말할 수도 있습니다 또 우리는 선분 AC의 길이가 선분 XZ의 길이와 같을 거라는 걸 알 수 있습니다 우리는 이제 누군가가 한 삼각형이 다른 삼각형과 합동이라고 말하면 두 삼각형의 대응변들이 각각 같은 길이를 가진다는 것 뿐 아니라 대응각들 또한 각각 같은 크기라는 것을 알 수 있습니다 예를 들어 우리는 각 A의 크기가 그 대응각의 크기와 같다는 것을 알 수 있습니다 그 대응각은 바로 여기 있습니다 각 A는 이 오렌지 색의 변과 파란색 변 사이에 있습니다 아니 이 오렌지 색과 보라색 변 사이에 있다고 해야 겠네요 그리고 여기에서 오렌지 색 변과 보라색 변 사이에 있죠 그래서 이 합동은 또 각 BAC의 크기가 각 YXZ의 크기와 같다는 것을 말해주는 것입니다 각 기호를 조금 더 작게 다시 써야 겠군요 YXZ의 각도 YXZ 또 우리는 각 BAC가 각 YXZ와 합동이라고도 표현 할 수 있겠네요 그리고 한 선분이 다른 선분에 합동하는 것은 그 두 선분의 길이가 같다는 것을 의미하고, 한 각이 다른 각에 합동이라는 것도 마찬가지로 두 각의 각도가 같다는 것을 의미합니다. 그래서, 이 대응하는 두 각이 같은 값을 가지면 합동이라는 것을 알 수 있습니다. 우리는 여기 두 개의 대응각들도 같은 크기라는 것을 압니다 이렇게 두 번 아치를 그려서 두 각의 크기가 같다는 것을 표시하겠습니다 그래서 우리는 각 ABC의 값이 각 XYZ의 값과 같다는 것 또한 아는 겁니다 마지막으로는 이 각도 알 수 있겠죠 우리가 이 두 개의 도형이 합동이라는 걸 안다면 이 각도 여기 있는 각과 같은 값을 가질 겁니다 둘은 대응각이기 때문입니다 그래서 우리는 각 ACB가 각 XZY의 값과 같다는 걸 압니다 자 이제 우리가 고민해볼 문제는 어떻게 합동을 증명하느냐의 문제입니다 이건 굉장히 멋진 겁니다, 왜냐하면 2개의 삼각형이 합동이라는 걸 밝힐 수 있으면 이러한 모든 추측들을 할 수 있기 때문입니다 그래서 우리가 할 것은 무엇이냐면 기하학 입문 단계를 위해서 이것을 '자명한 원리' 또는 '공리'라고 해봅시다 아니면 당신이 그냥 '가정하는 것'라고 해볼 수도 있습니다 한 번 써보겠습니다. Axiom. 굉장히 어려운 말입니다. Postulate 또한 어려운 표현입니다. 이 둘은 간단하게 말하자면 '우리가 진실이라고 가정하는 것'이라는 뜻입니다. 그런데 axiom의 경우에는 가끔 의미의 차이가 있습니다 Axiom은 그 자체로 자명한 사실이거나 그냥 당연한, 보편적인 진실이어서 우리가 그냥 당연하게 받아들이는 경우죠 그렇지만 axiom 자체는 증명할 수가 없습니다 Postulate도 이와 비슷한 역할을 하지만, 이것을 진짜라고 가정했을 때 그로부터 무엇을 도출할 수 있느냐, 무엇을 증명할 수 있느냐를 보는 것입니다 하지만, 이건 기하학 입문 단계이기 때문에 두 단어는 혼용 가능하게 사용될 수 있습니다 요즘 대부분의 수학에서도 혼용가능하게 쓰입니다 Axiom이나 Postulate 은 우리가 전제로 받아들이고 그냥 맞다고 가정하는 것, 증명을 직접 하지는 않지만 거기서 더 발전시켜 나가는 그 가정들을 지칭하는 고급스러운 말입니다 그리고 우리가 기하학에서 볼 아주 중요한 전제 중 하나는 모든 변들이 합동이면, 즉 삼각형의 모든 변의 길이가 합동이라면 이 삼각형들은 합동이라는 원리입니다. 그래서 가끔은 이렇게 SSS 합동이라고 불립니다 여기서 그걸 증명하진 않을 것이고, 그냥 주어진 것으로 받아들일 겁니다 SSS는 side, side,side(변)를 의미하는 것입니다 그리고 이게 말해주는 것은 만약 두 개의 삼각형이 있으면 (여기에 다른 삼각형을 그려보겠습니다) 그리고 우리는 이 각각의 대변 길이가 서로 같다는 걸 안다고 해봅시다 그래서 바로 여기 있는 이 변이 바로 저기 있는 변과 길이가 같다는 걸 알고 이 변은 여기 있는 변과 같은 길이라는 사실을 알고 있습니다 또 여기 있는 변도 이 변과 길이가 같다는 사실을 압니다 이렇게 삼각형이 SSS라고 가정한 뒤 결론을 내는 거죠 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 말입니다. 삼각형에 아무런 기호를 붙이지 않아서 지칭하기가 힘드네요. 어쨌든 이 두 삼각형들은 서로 합동이라는 것을 알 수 있습니다 여기서 중요한 건 모든 대변들의 길이가 같다는 것을 알면 이 두 삼각형이 합동이라는 것을 알 수 있고 다른 가정들도 해볼 수 있다는 것입니다 대각들도 서로 각도가 같다는 것처럼 말입니다 그래서 우리는 이 각이 저 각과 합동이라는 것을, 즉, 각도의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다 또 이 각은 여기 있는 각과 같은 값을 갖고, 이 각은 바로 여기의 각과 같은 값을 가집니다 그리고 이게 왜 합리적인 원리인지 혹은 왜 합리적인 가정인가를 보려면, 우선 하나의 삼각형을 잡아보겠습니다 여기에 삼각형이 있다고 해보겠습니다 그래서 이 삼각형은 이런 변이 있고, 이런 변이 있고 그리고 여기에 이런 변도 있다고 합시다 이제 제가 할 건, 각 변의 길이는 이 삼각형과 똑같지만 뒤집기, 이동시키기, 회전을 통해서는 이 삼각형과 똑같아질 수 없는 다른 삼각형을 만들 수는 없을 지 알아보는 것입니다 그래서, 우리는 그 다른 삼각형이 여기에 있는 삼각형과 변의 길이가 같다고 가정해봅시다 그렇게 그려보겠습니다 대충 비슷한 길이로요 그러면 이것과 같은 길이의 변을 가진다는 것을 알 수 있습니다 그래서 저 삼각형과 같은 길이의 변을 갖게 되는 거죠 이쪽으로 그려보겠습니다 그냥 더 재미있게 그려보기 위해서이죠 그러면 우리는 이 삼각형이 저런 변을 가진다는 것을 알 수 있습니다 또 대충 비슷하게 그려보겠습니다 하지만 다른 각도로 그릴 겁니다 다 그리면 이제 이 변과 같은 변이 있다는 것도 알 수 있습니다 또 여기에도 변을 그려보겠습니다 물론 저 길이와 동일하게 그려야 합니다 이건 분명히 삼각형이 아니니까 이것을 삼각형으로 만들기 위해서는 바로 여기에 있는 이 점을 저 점과 연결시켜야 합니다 이 두 점을 연결시킬 수 있는 방법은 두 가지입니다 우선, 여기 있는 이 접합점을 중심으로 회전시킬 수 있습니다 그래서 이 점들을 연결한다면 이렇게 생긴 삼각형이 생깁니다 사실 이것은 저 삼각형을 뒤집은 것이죠 제가 맞게 그리고 있죠? 맞습니다, 그냥 뒤집은 것에 불과하죠 이 방향으로 돌리기만 되면, 이 자홍색 부분이 이 변에 오게 되고, 노란색 부분은 이 변에 오게 됩니다 그 다음에 수직으로 뒤집으면 그러면 정확히 이렇게 생겼을 겁니다 이 두 개의 점들을 연결하는 또 다른 방법은 이 변들을 바깥쪽으로 돌리는 것입니다 그러면 노란색 변은 여기에 오게 되고, 자홍색 변은 여기에 오게 됩니다 자홍색이 아니네요 그래서 자홍색 변은 이렇게 될 겁니다 이렇게 한 다음에는 저 삼각형과 똑같이 만들기 위해서 이 도형을 회전시키기만 하면 됩니다 그렇지만 이건 증거가 될 수 없기 때문에, 우리는 이것이 자명한 진실이라고 가정을 할 겁니다 하지만 여러분은 이게 상당히 합리적인 출발점이란걸 알 수 있을 겁니다 두 삼각형의 모든 대응하는 변들이 길이가 같다면 그러면 우리는 이 둘이 합동이라는 것을 압니다 이 둘이 합동이라고 우리가 가정하는 데에서부터 점점 발전시켜나가는 것입니다 또 우리는 대응하는 각들 또한 같은 값을 가진다는 걸 압니다