겉넓이 문제 해결하기 예제

아키라는 과학 경시대회에서 트로피를 받았습니다 트로피의 모양은 정사각뿔 모양이며 겉에는 금박이 쌓여 있습니다 이 그림이 트로피의 모양이죠 밑면을 포함해 트로피의 겉면을 둘러싸고 있는 금박의 넓이는 얼마일까요? 정사각뿔의 치수는 인치 단위로 주어져 있으며 트로피를 둘러싸고 있는 금박의 넓이를 구하려고 합니다 동영상을 잠시 멈추고 트로피를 둘러 싸기 위해 필요한 금박의 넓이를 구해 봅시다 같이 풀어 볼까요? 여기서 본질적으로 묻고 있는 것은 정사각뿔의 겉넓이입니다 겉넓이를 구하는 것이므로 밑면까지 포함하는 것이죠 필요한 금박의 넓이를 구해야 합니다 이 상태로 계산하면 놓치는 부분이 있을 수도 있기 때문에 이 정사각뿔을 펼쳐서 평면도형으로 생각해 봅시다 이 정사각뿔을 자른다고 합시다 자른 부분을 빨간색으로 표시해 볼게요 이 부분을 자르고 이 부분도 자르고 이 부분과 이 부분도 자른다고 합시다 자른 부분은 삼각형 면을 연결해주는 모서리입니다 이를 따라 도형을 펼치면 어떤 모양이 될까요? 펼쳐 봅시다 밑면은 정사각형 모양이겠죠? 밑면을 칠해 볼게요 이 밑면을 그려 봅시다 정사각형 모양의 밑면을 대충 그려 볼게요 이 정사각형의 가로와 세로는 각각 3 인치입니다 이 도형은 정사각뿔이기 때문에 밑면의 가로와 세로는 모두 같습니다 한 변의 길이만 주어졌지만 이 변의 길이가 3인치면 이 변의 길이도 3인치가 되죠 같은 밑면이라는 것을 나타내기 위해 정사각형 밑면을 같은 색으로 칠해 볼게요 이제 삼각형 모양의 옆면을 펼치면 어떻게 될까요? 이렇게 그려지겠죠? 대충 그려 볼게요 이쪽은 이렇게 그려집니다 삼각형 모양의 옆면은 모두 넓이가 같습니다 그 이유는 밑면이 같으며 높이도 모두 6 인치이기 때문이죠 빠르게 그림을 완성해 볼게요 도형을 펼치면 이렇게 될 것입니다 삼각형 모양의 옆면은 높이가 모두 6 인치입니다 그러므로 이 길이도 6 인치이고 이 길이도 6 인치 이 길이도 6인치이고 이 길이도 6 인치입니다 필요한 금박의 넓이를 구하기 위해서는 도형의 겉넓이를 구해야 하며 이는 펼친 도형의 각 부분의 넓이를 더해서 구할 수 있습니다 가운데에 있는 정사각형의 넓이는 구하기 쉽죠? 3 인치 · 3 인치이므로 계산하면 9 제곱인치입니다 삼각형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요? 삼각형이 네 개이므로 삼각형 한 개의 넓이를 구한 뒤 4를 곱해주면 되겠네요 이 삼각형의 넓이를 구해 볼까요? 삼각형의 넓이는 1/2 · 밑변 · 높이입니다 밑변은 3이고 높이는 6이죠? 따라서 1/2 · 3 · 6입니다 이를 계산하면 1/2 · 18이므로 1/2 · 18 = 9가 됩니다 따라서 이 삼각형의 넓이는 9 제곱인치입니다 그렇다면 전체 넓이는 얼마일까요? 처음에 구한 정사각형의 넓이 9에 넓이가 9인 삼각형 네 개의 넓이를 더해주면 됩니다 이를 9 · 4로 쓸 수도 있지만 덧셈으로 풀어서 쓸 수도 있어요 검은색으로 써 볼게요 9 + 9 + 9 + 9 + 9 이 식에서 검은색으로 쓴 9는 삼각형 모양의 옆면 한 개의 넓이를 나타냅니다 그러므로 검은색으로 쓴 9는 모두 삼각형 모양 옆면의 넓이를 나타내죠 여기에 정사각형 모양 밑면의 넓이를 더해줘야 합니다 이는 9 + 9 · 4이며 9 · 5와 같으므로 45 제곱인치와 같습니다 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45죠