점화식 형태의 수열 계산하기

함수 g가 주어졌습니다 동영상을 잠시 멈추고 g(1), g(2), g(3), g(4)가 무엇인지 구해 보세요 같이 풀어 볼까요? g(1)은 n이 1일 때의 값이죠 이 경우는 첫 번째 경우에 해당하겠네요 n이 1인 경우 g는 4입니다 쉽게 구할 수 있었죠? 이제 g(2)를 구해 봅시다 n이 2인 경우의 값을 찾아야겠죠? 2는 1보다 큰 정수이므로 두 번째 경우에 해당합니다 두 번째 경우는 함수로 정의되어 있지만 g(n)이 아니라 g(n - 1)로 정의되어 있습니다 g(2)를 구해야 하므로 n에 2를 대입하면 여기는 g(2 - 1)이 되죠 이는 g(1)과 같으며 여기에 3.2를 더하면 g(1) + 3.2가 됩니다 계산하면 어떻게 될까요? g(1)의 값은 위에서 구했듯이 4입니다 그러므로 4 + 3.2 = 7.2입니다 이제 g(3)을 구해 봅시다 3은 1보다 큰 정수이므로 역시 두 번째 경우에 해당합니다 그러므로 3을 대입하면 g(3 - 1)이며 이는 g(2)와 같아요 여기에 3.2를 더해주면 g(2) + 3.2입니다 g(2)가 7.2라는 것을 위에서 구했으므로 이를 대입하면 7.2 + 3.2 = 10.4입니다 g(4)를 구하기 위해 두 번째 경우에 4를 대입하면 g(3) + 3.2입니다 계산하면 무엇이 될까요? g(3)은 10.4이므로 10.4 + 3.2 = 13.6입니다 여기서 흥미로운 점은 함수 g가 양의 정수로 정의되어 있다는 사실이에요 그러므로 이를 수열이라고 볼 수도 있습니다 여기서 볼 수 있는 수열은 첫째항이 4이고 둘째항은 7.2 셋째항은 10.4 넷째항은 13.6입니다 이 수열은 계속 확장될 거예요 이 수열 사이에서는 어떤 일이 일어나고 있나요? 첫째항은 4였죠 함수의 첫 번째 경우에서 n이 1일 때의 값은 4라고 주어졌습니다 그 다음 항부터는 이전 항에 3.2를 더한 값입니다 둘째항을 구하기 위해서는 첫째항에 3.2를 더해야 해요 다음 항을 구하기 위해 계속 3.2를 더해야 합니다 이 수열의 첫째항은 4이고 다음 항은 이전 항에 3.2를 더한 값입니다 하지만 수열을 이런 방법으로 정의할 수도 있습니다 이 방법은 n이 1일 때의 값이 주어지며 양의 정수로 정의되는 함수로 수열을 정의한 것입니다 n이 1일 때의 값을 이용해 수열의 첫째항을 알 수 있습니다 그리고 함수로 정의된 두 번째 경우가 있습니다 여기에서 n = 1일 때의 값에 도달하려면 다시 뒤로 돌아가야 하는데 이런 형태를 점화식이라고 합니다 이렇게 예제를 통해 점화식을 이용하여 어떻게 수열을 정의할 수 있는 지 알아보았습니다 여기서는 순서대로 구했지만 거꾸로 올라갈 수도 있어요 g(6)은 무엇일까요? g(6) = g(5) + 3.2가 되겠죠 이를 수열로 본다면 이전 항에 3.2를 더한 것과 같아요 그렇다면 이전 항은 무엇일까요? g(5) = g(4) + 3.2이고 계속 거꾸로 올라가면 구할 수 있겠죠 아까 g(4)의 값을 구했으므로 13.6을 대입해 봅시다 따라서 13.6 + 3.2 = 16.8이 됩니다 그리고 g(6)의 값을 구하기 위해 g(5)에 16.8을 대입하면 16.8 + 3.2 = 20이 됩니다 이렇게 g(6)부터 g(1)까지 거꾸로 올라가서 g(1)의 값까지 구할 수있습니다 n = 1일 때의 값을 이용해 나머지 값을 구할 수 있습니다 다른 예제도 풀어 봅시다 여기 수열을 정의하는 점화식이 주어졌습니다 이 수열의 처음 네 개 항은 무엇일까요? 동영상을 잠시 멈추고 한번 생각해 보세요 같이 풀어 볼까요? h(1)은 14라고 바로 주어졌네요 n이 1일 때 h는 14입니다 h(2)는 무엇일까요? 2는 1보다 큰 정수이므로 두 번째 경우를 이용해 봅시다 그러면 h(2) = 28/h(1)이 됩니다 h(1)은 14이므로 이를 대입하면 28/14 = 2가 됩니다 h(3)은 무엇일까요? 역시 두 번째 경우를 이용해야겠죠? h(3) = 28/h(2)입니다 이를 이전 항으로 나누어지는 수열이라고 생각할 수 있습니다 28/h(2)에서 h(2)는 2이므로 28/2 = 14가 됩니다 규칙이 보이시나요? h(4) = 28/h(3)입니다 이는 28을 금방 구한 h(3)의 값인 14로 나눈 것이므로 28/14 = 2가 됩니다 이를 하나의 수열로 본다면 첫째항은 14이고 둘째항은 2 셋째항은 14 넷째항은 2입니다 이 수열은 14와 2가 계속 번갈아 가면서 나옵니다 수열의 모든 홀수 항은 14이고 모든 짝수 항은 2입니다 이제 다른 방법으로 수열을 정의해 봅시다 첫째항은 14이고 연속하는 각 항은 28을 이전 항으로 나눈 값입니다 따라서 28을 14로 나누면 2가 되고 28을 2로 나누면 14가 되고 28을 14로 나누면 2가 됩니다 이 수열은 이렇게 계속 반복됩니다 위에서 이렇게 정의했었죠 한 문제 더 살펴봅시다 아까와 조금 다르네요 n이 2일 때의 값도 주어졌습니다 이 점화식을 한번 살펴봅시다 이 점화식에서 f(4)를 구해 볼까요? 4는 2보다 큰 정수이므로 마지막 경우를 이용해야겠죠 f(n - 2)에 4를 대입하면 f(2)가 됩니다 그리고 f(n - 1)에 4를 대입하면 f(3)이 됩니다 따라서 f(4)는 이전 두 개 항의 합과 같습니다 그렇다면 f(3)은 무엇일까요? f(3)도 역시 마지막 경우를 이용해야 합니다 f(n - 2)에 3을 대입하면 f(1)이 되고 f(n - 1)에 3을 대입하면 f(2)가 됩니다 f(3) 역시 이전 두 개 항의 합과 같습니다 이제 f(2)를 구해 봅시다 이제 앞의 항을 더하지 않아도 됩니다 n이 2일 때의 값이 주어졌기 때문이죠 그러므로 f(2) = -4입니다 f(1)은 무엇일까요? n이 1일 때 f(1) = -6입니다 여기서는 n이 1일 때와 2일 때의 값이 주어졌습니다 이 값들은 함수로 정의되지 않는 값입니다 만약 이 값이 주어지지 않았다면 계속 이 과정을 반복해야 하며 값을 구할 수 없을 거예요 여기서는 n이 1일 때와 2일 때의 값이 주어졌기 때문에 다른 값도 구할 수 있었습니다 따라서 첫째항은 -6이고 둘째항은 -4 셋째항은 앞의 두 항의 합이므로 -6 + -4 = -10입니다 넷째항 역시 앞의 두 항의 합이죠 f(2)와 f(3)을 더한 값입니다 -4 + -10 = -14입니다 이렇게 계속 확장시킬 수 있어요 따라서 f(4) = -14입니다 이번 강의에서는 점화식이 어떻게 실제 수열을 정의하는지 살펴보았습니다