사인 & 코사인 정리: 대칭성

이제 좀 더 깊이 있게 단위원을 탐구해봅시다 먼저 어떤 각 θ를 잡습니다 단, 여기서 모든 각들의 단위는 라디안으로 통일합니다 여기 있는 이 각을 θ라고 합시다 그리고 이 각의 동경을 x축과 y축을 기준으로 뒤집어보는 겁니다 각 축의 이름은 분명히 표시해줍시다 먼저 x축에 대해 뒤집어봅시다 이 반직선을 양의 방향 x축에 대해 뒤집으면, 여기서 곧장 아래로, x축 아래서 같은 거리만큼 갔을 때 만나는 이 점을 향하는 이 반직선을 얻게 됩니다 이 반직선은 파란색으로 그리도록 하죠 이렇게 얻은 이 반직선에 대해, x축 양의 방향에서 시작했을 때 이 반직선과 양의 방향 x축 사이의 각도는 얼마일까요? x축에서 시작해 반시계 방향 회전 시 생기는 각이 양의 각이라는 약속을 했었습니다 이건 시계 방향 각으로, θ만큼 위 방향이 아니라 아래 방향으로 움직인 각입니다 θ만큼 위 방향이 아니라 아래 방향으로 움직인 각입니다 약속에 따라 이 각을 -θ(마이너스 θ)라고 부릅시다 이번엔 처음의 녹색 반직선을 y축에 대해 뒤집어봅시다 이 반직선을 양의 방향 y축에 대해 뒤집으면, 여기서 곧장 왼쪽으로 오면 만나는 이 점을 향하는 이 반직선을 얻을 수 있습니다 이 반직선을 얻을 수 있습니다 그럼 이 반직선까지의 각의 크기는 몇 라디안이 될까요? 양의 x축에서부터 시작해 음의 x축까지 완전히 진행했을 때의 각의 크기는 이 원의 둘레를 따라 반만큼 움직인 각이니 π 라디안입니다 이 녹색 각의 크기가 θ이니 이 각의 크기도 θ입니다 그럼 찾고자 하는 각의 크기는 끝까지 움직였을 때의 각도 π에서 θ만큼을 뺀, 끝까지 움직였을 때의 각도 π에서 θ만큼을 뺀, 즉 π-θ가 될 겁니다 잘 보면, 이 π-θ와 θ를 더하면, 이 두 각은 보각 관계이니 더했을 때 π 라디안, 혹은 180도가 됩니다 이번엔 이 반직선을 x축에 대해 뒤집어봅시다 노란 반직선을 음의 방향 x축에 대해 뒤집으면, 이 점을 향하는 이러한 반직선으로 이루어지는 각을 얻을 수 있습니다 이렇게 해서 얻어진 이 각의 크기는 얼마일까요? x축부터 쭉 회전하여 만들어지는 이 각의 크기를 구하자면, 여기까지 간 것이 π이고, 여기서 한 번 더 이 θ만큼 진행한 것입니다 이 각의 크기가 θ이니 π만큼 가서 다시 θ만큼 간 이 전체 각의 크기는 이 전체 각의 크기는 π+θ 라디안이 됩니다 π+θ 라디안이 됩니다 π+θ 라디안이 됩니다 π+θ 라디안이 됩니다 이로써 이 각들이 가지고 있는 대칭 관계를 모두 찾아냈으니, 각각의 각들의 sin값들과 cos값들이 서로 어떤 관계를 가지고 있는지 생각해봅시다 여기 있는 이 점의 좌표는 여기 있는 이 점의 좌표는 x좌표가 cosθ이고 x좌표가 cosθ이고 y좌표가 sinθ임을 알고 있습니다 달리 생각해보자면, x축 위의 이 값이 cosθ이고 y축 위의 이 값이 sinθ입니다 y축 위의 이 값이 sinθ입니다 그럼 아래쪽의 이 점의 경우는 어떨까요? 실제로 단위원을 통해 삼각함수를 이렇게 정의하였음을 생각하면 이 점의 경우는, 이 각의 크기가 마이너스 θ이므로, 이 점의 좌표는 x좌표 cos(-θ), y좌표 sin(-θ)이니 (cos(-θ), sin(-θ))입니다 같은 방법을 이 점에도 적용할 수 있습니다 이 점의 경우, x좌표가 π-θ의 cos값입니다 x축의 양의 방향에서 시작하여 얻는 각이 π-θ이니까요 x좌표가 cos(π-θ)이고, y좌표는 sin(π-θ)입니다 이번엔 이 점까지 쭉 둘러가봅시다 여기 이 점의 좌표는, x좌표가 cos(θ+π), 즉 cos(π+θ)이고, y좌표가 sin(π+θ)이니 (cos(π+θ), sin(π+θ))입니다 이들 좌표는 서로 어떤 관계를 가지고 있을까요? 이 그림의 오른쪽을 잘 보면, 이 두 점의 x좌표가 정확히 x축 위의 이 값으로 같아집니다 그러니 cosθ와 cos(-θ)의 값은 서로 같아야 함을 알 수 있습니다 아주 흥미롭군요 이를 적어보자면, cosθ가 cos(-θ)와 같으니... cosθ가 cos(-θ)와 같으니... cosθ = cos(-θ)입니다 상당히 흥미로운 결과를 얻었습니다 그럼 sin값의 경우는 어떨까요? 여기서 sinθ가 x축 위 방향으로 이만큼 간 거리인 반면에, sin(-θ)는 같은 거리만큼을 x축 아래 방향으로 간 값입니다 다시 말해 각각 서로와 부호만 반대인 값을 가지게 됩니다 그러니 sin(-θ)는 그러니 sin(-θ)는 마이너스 sinθ와 같음에서 sin(-θ) = -sinθ라고 할 수 있습니다 서로 부호만 반대로, x축에서 같은 각만큼 위 혹은 아래로 움직이면 각각의 sin값이 서로의 마이너스 값이 됩니다 이 점에 대해서도 같은 방법으로 이 점과의 관계를 찾자면, 이 두 각은 같은 sin값을 가집니다 이 점의 y좌표가 sinθ와 같다는 것입니다 즉 sin(π-θ)가 sinθ와 같아야 합니다 이를 적어보자면, sinθ = sin(π-θ)입니다 이번엔 cos값들의 관계를 생각해봅시다 같은 논의를 전개하면, 각 x좌표가 원점을 기준으로 같은 거리, 반대쪽에 있으니 각각 서로와 부호만 반대입니다 따라서 cosθ가 -cos(π-θ)와 같아집니다 따라서 cosθ가 -cos(π-θ)와 같아집니다 같은 점의 좌표는 같은 색으로 표기합시다 같은 점의 좌표는 같은 색으로 표기합시다 cosθ = -cos(π-θ)를 얻습니다 cosθ = -cos(π-θ)를 얻습니다 마지막으로 이 점에 대한 관계를 생각해봅시다 이 점의 경우 x축과 y축 모두에 대해 뒤집은 것이니 x좌표인 cos값도, y좌표인 sin값도 모두 음수입니다 이를 적어보자면, 이 점의 y좌표인 sin(θ+π), 즉 sin(π+θ)는 -sinθ와 같으므로 sin(θ+π) = -sinθ입니다 이 값이 sinθ이고 이 값이 sin(π+θ), 즉 sin(θ+π)이니까요 x좌표인 cos(θ+π)는 x좌표인 cos(θ+π)는 -cosθ과 같으므로 cos(θ+π) = -cosθ입니다 이들뿐만이 아니라, 이들뿐만이 아니라, 서로 다른 두 점이 가지는 좌표 간의 관계를 통해 수많은 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다 여기서 우리가 했던 것처럼, 여러분들이 스스로 각 점들의 좌표가 x축 혹은 y축에 대한 대칭 및 반사를 통해 어떤 관계를 가지게 되는지 생각해보길 바랍니다