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주요 내용

로그의 곱셈 법칙 증명

살만 칸이 로그의 덧셈 성질을 증명합니다. log(a) + log(b) = log(ab). 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

안녕하세요 로그의 성질을 가지고 몇 가지 활동을 해보죠 음, 일단 로그가 무엇인지 빠르게 복습 해봅시다 제가 쓴 x를 밑으로 하는 A의 로그가 N이라는 값이 나온다고 가정해보죠 이게 무슨 뜻일까요? 사실, 이것은 x의 N제곱이 A와 같다는 것을 뜻하죠 여러분은 이미 알고 계셨을 것으로 생각됩니다 로그 강의 때 이를 배웠거든요 또한, 이는 'x를 밑으로 하는 A의 로그'같은 표현들을 나타낼 때 얻을 수 있는 값이 지수임을 이해하기 위해서 매우 중요합니다 이 식에서는 N이 지수이죠 좌변과 우변은 같은 값을 가집니다 여러분들도 이렇게 적을 수 있었을 겁니다 이 N이 이 값과 동일하기 때문에 복잡할 지도 모르지만 X를 밑으로 하는 로그 A제곱은 A와 같다는 것을 알 수 있습니다 위의 과정을 통해 좌변을 대신하여 우변에 N이란 값을 넣었습니다 또한, 전 이것을 이 방법으로 쓰길 원합니다 왜냐하면 전 여러분이 지수와 같은 수치를 구할 때 필요한 로그라는 개념의 직관적인 이해를 심어주기 위해서죠 저희는 개념적인 부분을 알아갈 것입니다 그리고 이 과정으로부터 모든 로그의 성질들이 나오게 되죠 사실, 제가 여러분께 말하고 싶은 것은 일상 속에서 로그의 성질을 보는 일이 많아졌으면 한다는 겁니다 일상 속에서 로그의 성질을 보는 일이 많아졌으면 한다는 겁니다 그러고 나서 제가 이를 요약 정리하겠습니다 그러고 나서 제가 이를 요약 정리하겠습니다 그러나 먼저 사람들이 처음에 어떤 방법으로 성질을 발견했는 지 보여드리고 싶군요 x의 색깔을 바꾸어서 다시 한 번 써볼게요 제 생각엔 그게 흥미로울 것 같습니다 x의 l제곱이 A의 값을 가진다고 가정해봅시다 우리가 이 식을 로그로 바꾸었을 때 x를 밑으로 하는 A의 로그가 l이라고 할 수 있겠죠? 제일 윗줄에 있는 식을 다시 적은 것입니다 자, 이제 다른 색깔로 바꿔서 적어보도록 하죠 x의 m제곱이 B의 값을 가진다고 가정해봅시다 같은 방식으로, 색깔을 바꿔서 적었습니다 x를 밑으로 하는 B의 로그가 m이라는 말과 똑같겠죠? 이 줄에 있었던 것과 똑같이 적었을 뿐 색깔만 바뀐 겁니다 계속해서 무슨 일이 일어나는 지 지켜보죠 또 다른 색으로 적어 봅시다 또 다른 색으로 적어 봅시다 x의 n제곱이 어떤 값을 가질 생각해 봅시다 x의 n제곱이 어떤 값을 가질 생각해 봅시다 그러나 당신은 알 것입니다 멋지게도, x의 n제곱이 A*B라는 값으로 나오거든요 x의 n제곱이 AXB란 말입니다 그리고 x를 밑으로 하는 로그가 A*B가 된다는 사실도 알 수 있습니다 우리가 이것으로 무얼 할 수 있을까요? 자, 여기서부터 시작해보도록 하죠 x의 n제곱은 A*B입니다 이걸 어떻게 다시 써볼 수 있을까요? A는 이것입니다 B는 이거고요, 맞죠? 다시 한 번 더 써봅시다 우린 x의 n제곱이 A라는 것을 알고 있죠 A는 이것입니다 x의 l제곱 x의 l제곱 B는 뭐죠? B를 곱합니다 B는 x의 m제곱이죠? 이제 쓰는 것을 잠시 그만둬 보겠습니다 그러면 x의 l제곱과 x의 m제곱을 곱하면 어떻게 되죠? 우리가 알고 있는 지수 법칙에 의하면 밑이 같고 지수가 다른 두 개의 수를 곱할 때 단순히 지수를 더하면 된다고 했습니다 우변의 값은 중립적인 색으로 쓰겠습니다 구두적으로 맞는 얘기인지 모르겠지만 요점을 잡으셨을 겁니다 밑이 같고 지수가 다른 두 개의 수를 곱할 때 지수를 더한다는 사실을 말입니다 이 값은 x의... 다른 색깔로 적고 싶네요 그게 더 실용적일 거 같거든요 l+m 색깔을 바꾸는 게 귀찮을 수도 있지만 쉽게 이해하실 겁니다 그래서, x의 n제곱은 x의 (l+n)제곱이라고 볼 수 있습니다 여기에 x를 덧칠해볼게요 오, 초록색으로 썼어야 했는데 x의 (l+m)제곱 무얼 알 수 있나요? x의 n제곱이 x의 (l+m)이란 사실을 알 수 있습니다 맞죠? 같은 밑을 가지고 있고 지수들도 틀림없이 같습니다 따라서 n은 (l+m)이란 사실을 알 수 있습니다 이것이 우리에게 무얼 해줄 수 있을까요? 전 로그를 이용하여 여러 활동을 해보았습니다 어느 것이든 했었죠? 여러분들도 보았을 것입니다 n을 다른 방법으로 쓸 수 있을까요? x의 n제곱은 A*B라고 말했었죠... 어, 제가 사실 건너뛴 단계가 있었습니다 이쪽으로 돌아오시면 x의 n제곱이 A*B이잖아요 이것은 x를 밑으로 하는 A*B의 로그가 n이라는 것을 뜻합니다 아셨을 겁니다 확신은 없지만요 제가 비반복적이라고 생각하지 않으셨으면 좋겠습니다 제가 처음에 설명할 때 적는 것을 잊어버렸던 것 같군요 뭐, 상관없어요 그럼, n은 무엇인가요? n을 표현하는 다른 방법이 있을까요? 사실, n을 적는 다른 방법은 여기에 있습니다 x를 밑으로 하는 A*B의 로그 이제 우리는 n을 대체할 만한 것을 찾았습니다 x를 밑으로 하는 A*B의 로그말이죠 어느 값과 같을까요? 이건 l입니다 l을 적는 다른 방법은 이것입니다 이것은 x의 밑으로 하는 A의 로그인 m이기도 합니다 m이 뭐죠? m는 이겁니다 x를 밑으로 하는 B의 로그 그리하여 우리는 첫 번째 로그의 성질을 알아냈습니다 x를 밑으로 하는 A*B의 로그... 이는 x를 밑으로 하는 A의 로그에 x를 밑으로 하는 B의 로그를 더한 값입니다 바라는 대로, 증명이 되었습니다 그리고 왜 이리 되는 지에 대한 직감을 원하신다면, 로그와 지수의 관계에 대한 사실을 말씀드리고 싶네요 전, 이번 강의를 남기고 물러갑니다 다음 강의에서는, 다른 로그의 성질들을 증명해 드리죠 다음 번에 뵙시다