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주요 내용

로그의 나눗셈 법칙과 지수 법칙 증명

살만 칸이 로그의 나눗셈 법칙 log(a) - log(b) = log(a/b)와 멱의 법칙 log(a) = log(aᵏ)를 증명합니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

자, 오늘은 또다른 로그의 성질에 대해 알아봅시다 표기의 편의성을 위해 밑 a, 진수 b인 로그는 log(a)b로 표현합시다 밑이 x이고 진수가 A인 로그 값을 B라고 합시다 이것은 x의 B제곱이 A와 같다는 것과 정확히 같은 의미입니다 그렇죠? 제가 지금부터 하고 싶은 것은 실험입니다 제가 만약 이 식을 여러 번, 다른 문자를 사용해 곱한다면 어떻게 될까요? 곱하는 문자를 C라고 해보죠 자, 이 식의 양변에 C를 곱할 것입니다 그리고 보기 편하기 위해 색을 좀 바꿔볼까요? 아, 여기 이 x는 문자가 아니라 그저 곱하기 C를 나타낸 것 뿐입니다 그냥 점으로 표현하는 게 낫겠군요 C배 곱한다 식의 양변에 C를 곱해 주었습니다 그럼 저는 C log(x)A 가 --양변을 곱해주니까-- B x C와 같다는 것을 알 수 있겠군요 그렇죠? 당신은 이제 제가 지금까지 아무것도 하지 않은 것이나 다름 없다는 것을 알았겠군요 좀 전으로 돌아가볼까요? 우리는 이 값이 이 값과 같다는 것을 알고 있습니다 그러니 간단한 실험을 하나 해보죠 이 변에 c제곱을 해주어볼까요? 음, 이건 캐럿(^)인데요 지수를 타이핑할 때 사용하는 기호입니다 자, 그럼 C제곱을 해보겠습니다 그럼 이 변은 x의 B제곱의 C제곱이 되겠군요 이것은 곧 A의 C제곱과 같은 갑이죠 제가 지금까지 한 전부는 등식의 양변에 C제곱을 한 것 뿐입니다 그리고 우리가 무언가의 몇제곱을 또다시 몇 제곱할 때에 이 지수에는 어떤 현상이 일어나죠? 이건 간단한 지수 법칙이죠 그저 두 지수를 곱하면 되는 것입니다 이것은 곳 x의 BC제곱이 A의 C제곱과 같다는 것이죠 그럼 이제 우리는 뭘 할 수 있죠? 흠, 잘 모르겠네요 양변에 로그를 취해볼까요? 아니면 그냥 이렇게 --로그를 양변에 취하는 것이 아니라-- 아예 이 식을 로그의 표현을 가지고 나타내 봅시다 우리는 x의 BC제곱이 A의 C제곱과 같다는 것을 알고 있습니다 그리고 이것은 로그의 표현으로 밑을 x로 하는 로그 (A의 C제곱)의 값이 BC이다 와 동치입니다 맞습니까? 제가 지금까지 한게 결국은 이 로그 식을 다시 표현한 것 뿐이거든요 그리고 제 생각에는 당신이 뭔가 흥미로운게 나타났다는 것을 알아챘을 것 같군요 바로 BC, 물론 이 BC가 저 BC와 같은 BC이므로 이 식이 저 식과 같다는 것이죠! 그럼 우리는 새로운 로그의 성질에 대해 깨우쳤다고 할 수 있겠군요 만약 로그 식의 앞에 어떠한 계수가 있을 경우 즉, 로그 식에 어떤 수를 곱해줄 경우 --C를 곱해보죠-- C log(x)A, 밑 x 진수 A인 로그 값에 C를 곱해준 거죠 가 결국은 log(x)A^C과 같다는 거죠 당신은 이 계수를 로그 식 안의 진수의 지수로 올릴 수 있는 겁니다! 이게 바로 로그의 또다른 성질입니다 그럼 지금까지 로그에 대해 배운 것들을 정리해볼까요? 우리는--뭐라고 해야할까요--제가 쓰고 있던 문자들을 계속 쓰도록 하겠습니다-- 밑x, 진수 A인 로그 값의 C배는 밑 x, 진수 A의 C제곱의 로그 값과 같다는것을 우린 알고 있죠 또 우리는--금방 배웠죠-- log(x)A+log(x)B는 밑이 x이고 진수가 A 곱하기 B인 로그 값과 같다는 것을요 자 그럼 질문을 하도록 하겠습니다 만약 이 플로스 기호 자리에 마이너스 기호를 넣으면 어떻게 되나요? 아마 당신은 혼자 해결할 수 있을 겁니다 우리가 처음에 했던 증명의 플러스 기호를 마이너스 기호로 바꾸어 생각하기만 하면 되니까요 밑이 x이고 진수가 A인 로그 값을 l이라고 합시다 그리고 밑이 x, 진수가 B인 로그 값은 m이라고 하죠 밑이 x이고 진수로는 A를 B로 나눈 값을 가지는 로그값은 n이라고 하도록 하죠 이 모든 식들을 지수를 이용해 표현하면 어떻게 되죠? 이것은 x의 l제곱이 A와 같다는 것을 의미합니다 색을 좀 바꿔볼까요 이거 괜찮군요 이것은 그저 x의 m제곱이 B와 같다는 것을 의미하죠 마지막으로 이것은 x의 n제곱이 A/B와 같습니다 자 그럼 여기서 우린 뭘 할 수 있죠? A/B를 표현하는 따른 방법이 뭐가 있을까요? x의 l제곱을 A에, x의 m제곱을 B에 대입해보도록 하죠 이게 B죠 그럼 우리는 지수 법칙에 따라 이것이 x의 l제곱, x의 -m제곱으로 표현될 수 있다는 것을 알고 있습니다 또한 이것은 x의 (l-m)제곱이죠 그럼 우리는 무엇을 알 수 있죠? 우리는 x의 n제곱이 x의 l-m제곱과 같다는 것을 알고 이들 간엔 등호가 성립하죠 제가 지금 여기 커다란 등호를 연결시켰습니다 우리는 이제 n이 l-m과 같다는 것을 알고 있습니다 이게 우리에게 뭘 보여줄 수 있을까요? n을 표현하는 또다른 방법이 뭐였죠? 여기 위쪽에 쓰도록 하겠습니다 다른 로그 규칙과 섞일 수도 있으니 말이죠 자, 그럼 n을 다른 방법으로 쓰는 게 뭐라고 했죠? 여기 써놨네요 이게 n을 쓰는 또다른 표현입니다 따라서 밑이 x 진수가 A/B인 로그 값은 --여기 이것은 x입니다-- l과 같습니다 l은 바로 여기있죠 밑이 x이고 진수가 A인 로그 값이 l이에요 여기 밑이 x이고 진수가 A인 로그 값을 넣어주고 빼기 m을 해주면 되겠죠 m은 여기 써놨네요 밑을 x, 진수를 B로하는 로그 값이군요 자, 볼까요 저는 아마 증명할 필요가 없었을지도 모릅니다 당신은 이거을 나눈 방법으로 시도했을지도 모르겠지만 어쨌든, 마찬가지입니다 이제 당신은 아마 새로운 로그의 성질을 알았다는 기쁨에 아주 만족하고 있을 겁니다 아직 한 가지 로그의 성질을 더 보여드려야 하지만 이 동영상에서 보여드리기에는 시간이 부족하므로 다음 동영상에서 해야겠네요! 곧 다시 보도록 해요!