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주요 내용

로그의 성질이란? (2/2)

살만 칸이 로그를 상수와 곱할 때 로그의 성질과 밑변환 공식을 소개합니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

다시 오신 것을 환영합니다! 이제 대수의 특성 중에 나머지 두가지를 보여드리겠습니다 이 것은-- 저에게는 항상 이 것이 어느 면에서는 가장 명료한 것으로 보입니다 명료하지 않더라도 너무 기분 나빠하시지는 마십시요 아마 자기반성이 조금 있을 것입니다 여러분이 대수의 모든 특성에 대하여 실험을 해보시를 장려합니다 왜냐하면 이 것이 실제로 배울 수 있는 유일한 길이기 때문입니다 수학의 요점은 다음 시험에서 합격하는 것도 아니고 다음 시험에서 A 학점을 받는 것도 아닙니다 수학의 요점은 수학을 이해하는 것이고 나중에 여러분의 생활에 적용할 수 있는 것입니다 매 번 모든 것을 다시 배울 필요가 없이요 그러면 대수의 다음 특성은 A 곱하기 로그 밑수 B 의 C 는, A 곱하기 이 전체는 로그 밑수 B 의 C 에 대한 A 제곱과 같다는 것입니다 매혹적입니다 이 것이 작동하는지를 알이봅시다 3 곱하기 로그 밑수 2 의 8 이 특성에 의하면 이 것은 로그 밑수 2 의 8 에 대한 3 제곱 이 됩니다 같은 것입니다 같은 것이므로 답을 구할 수 있습니다 이 것이 무엇인지 알아봅시다 3 곱하기 로그 밑수--- 로그 밑수 2 의 8 은 얼마입니까? 제가 일초 전에 주저하였던 이유는 제가 무엇을 알아낼려고 할 때마다 대수와 지수의 법칙을 묵시적으로 사용할려고 하기 때문입니다 이런 것을 피할려고 합니다 허여튼, 다시 돌아가겠습니다 이 것은 무엇입니까? 2 의 몇 제곱이 8 입니까? 2 의 3 제곱이 8 입니다, 그렇지요? 그래서 3 입니다 여기에 3 이 있으니, 3 곱하기 3 입니다 바로 여기에 있는 이 것은 9 가 되어야 합니다 이 것이 9 라면 최소한 이 예제에 대하여는 이 특성이 적용된다는 것을 알고 있습니다 모든 문제에 적용이 되는지는 모릅니다 다른 강의에 있는 증명을 보고싶어하실 수도 있습니다 하지만 더 고급의 주제입니다 가장 중요한 것은 이 것을 어떻게 사용해야하는지를 이해하는 것입니다 2 의 9 제곱은 얼마입니까? 꽤 큰 수가 될 것 같습니다 실제로, 이 것이 무엇인지를 저는 알고 있습니다--- 256 입니다 바로 전의 강의에서 2 의 8 제곱이 256 임을 알아냈습니다 그래서 2 의 9 제곱은 512 입니다 2 의 9 제곱은 512 입니다 그러면 8 의 3 제곱이 512 라면 맞은 것입니다, 그렇지요? 로그 밑수 2 의 521 가 9 이기 때문입니다 8 의 3 제곱은 얼마입니까? 64--- 그렇습니다 8 의 제곱은 64 이니, 8 의 세제곱은--- 봅시다 4 곱하기 8 은 32 6 곱하기 8--- 512 처럼 보이네요 맞습니다 할 수 있었던 다른 길이 있습니다 8 의 3 제곱은 2 의 9 제곱과 같다고 할 수 있기 때문입니다 어떻게 알았읍니까? 8 의 3 제곱은 2 의 3 제곱에 대한 3 제곱과 같습니다, 그렇지요 8 을 다르게 쓴 것 뿐입니다 지수법칙으로부터 2 의 3 제곱에 대한 3 제곱은 2 에 대한 9 제곱과 같다는 것을 알고 있습니다 실제로 지수규칙인데, 곱할 수 있습니다--- 어떤 수의 지수에 지수를 취할 때요 단지 지수를 곱하면 됩니다--- 이 지수규칙이 실제로 이 대수 특성이 된 것입니다 이 강의에서 너무 많이 논하지는 않겠습니다 좀 더 정식으로 증명하는 비데오가 있습니다 다음에 보여드릴 특성은--- 모든 것을 복습해 보고 다른 예제를 하겠습니다 여러분이 계산기에 빠진 사람이라면 이 특성은 가장 유용한 것이 될 것입니다 왜 그런지를 보여드리겠습니다 로그 밑수 B 의 A 는 로그 밑수 C 의 A 나누기 로그 밑수 C 의 B 와 같습니다 여러분이 계산기에 빠지신 분이라면 왜 이 것이 유용한 특성일까요? 수업에 들어갔는데, 퀴즈가 있다고 합시다 선생님이 말씀하시기를, "계산기를 사용할 수 있는데 계산기를 사용해서 로그 밑수 17 의 357 이 얼마인지를 알아내기를 바랍니다." 그러면 여러분은 급히 움직여서 여러분의 계산기에 로그 밑수 17 이 있는지를 살펴보는데 찾을 수가 없습니다 왜냐하면 여러분의 계산기에는 로그 밑수 17 이 없기 때문입니다 아마 로그(상용대수) 버튼이나 ln (자연대수) 버튼이 있을 것입니다 여러분이 아시다시피, 계산기에 있는 로그 버튼은 밑수 10 에 대한 것입니다 계산기의 ln 버튼은 밑수 e 에 대한 것입니다 이 e 에 친숙하지 않으신 분들은 걱정하지 마십시요 하지만 그 e 는 2.71--- 입니다 수입니다 아주 굉장한 수인데요, 앞으로의 강의에서 이 것에 대하여 좀 더 이야기하겠습니다 계산기에는 오직 두 개의 밑수에 대한 것만 있습니다 그래서 다른 밑수에 대한 대수 값을 알아보고 싶으면 이 특성을 사용하면 됩니다 이 문제가 시험에 나왔다면 아주 자신만만하게 말하실 수 있습니다, 이 것은 --- 자신만만하게 하기 위하여 노란색으로 바꿀 필요가 있습니다--- 로그 밑수--- e 또는 10 으로 할 수 있습니다 로그 밑수 10 의 357 나누기 로그 밑수 10 의 17 이라고 할 수 있습니다 글자그대로 여러분의 계산기에서 357 을 치고 로그 버튼을 누를 수 있습니다 그러면 -어떤 값이 얻어질 것입니다 그리고 그 것을 지우고 또는 계산기에서 괄호를 사용할 수 있다면, 그렇게 할 수 있습니다 그리고 계산기에 17 을 치고 로그 버튼을 누르면 , 어떤 값을 얻습니다 그리고 그 것으로 나누면, 답을 얻습니다 계산기에 빠진 사람에게는 아주 유용한 특성입니다 다시 한 번, 아주 깊이 들어가지는 않을려고 합니다 이 특성이 저에게는 가장 유용한 것입니다 하지만 완벽하지는 않지만-- 명백히 지수규칙이 되는 것입니다 통찰력을 단순하게 묘사하는 것이 어렵지만 여러분은 증명을 보시기를 원하실 것 같습니다 여러분이 왜 이렇게 되는지를 믿지 못하신다면 하여튼, 이 모든 것을은 제쳐두고 이 특성을 일상에서 가장 많이 쓸 것 같습니다 저는 아직 이 것을 제 일에서 쓰고 있습니다 여러분이 대수가 유용하다는 것을 아시게 되었습니다 다른 예제를 더 해보겠습니다 아주 많은 것을 단순한 형태로 다시 써 보겠습니다 로그 밑수 2 의 제곱근--- 좀 생각해보겠습니다 32 나누기 세제곱 --- 아니, 제곱근을 택하겠습니다 나누기 8 의 제곱근 이 것이 복잡하게 보이지 않도록 어떻게 다시 쓸 수 있을까요? 좀 생각해봅시다 이 것은 --- 옆으로 움직여야할지, 아래로 움직여야할지 모르겠네요 아래로 움직이겠습니다 이 것은 로그 밑수 2 의 32-- 나누기 8의 제곱근에 대한 2 분의 1 제곱입니다, 그렇지요? 대수 특성으로부터, 3 번째 배운 것으로부터 이 것은 2 분의 1 곱하기 로그 32 나누기 제곱근 8 과 같습니다, 그렇지요? 지수를 취해서 전체에 계수로 만들었습니다 이 강의의 초반에 배웠습니다 이제 몫이 있습니다, 그렇지요? 로그 32 나누기 8의 제곱근 다른 대수 특성을 사용할 수 있습니다--- 2분의 1 을 밖으로 내보냅시다 이 것은, 괄호, 로그 가 됩니다--- 이런, 밑수를 빠뜨렸네요 로그 밑수 2 의 32 빼기, 맞지요? 이 것이 괄호 안에 있기 때문입니다 빼기 로그 밑수 2 의 8 의 제곱근 맞지요? 봅시다 여기에 다시 한 번, 제곱근이 있습니다 그래서 이 것은 2 분의 1 곱하기 로그 밑수 2 의 32 라고 할 수 있었습니다 빼기 8 에대한 2 분의 1 제곱 이 것은 2 분의 1 곱하기 로그 밑수 2 의 8 과 같습니다 이 강의 초반에서 이 특성을 배웠습니다 원한다면 이 2 분의 1 을 분배할 수 있습니다 이 것은 2 분의 1 로그 밑수 2 의 32 빼기 4분의 1--- 왜냐하면 이 2 분의 1 을 분배하였기 때문입니다 빼기 4 분의 1 로그 밑수 2 의 8 이 것은 2 분의 5 빼기, 이 것은 3 입니다 3 곱하기 4 분의 1 빼기 4 분의 3 또는 4 분의 10 빼기 4 분의 3 은 4분의 7 이 됩니다 계산에 착오가 있었을 수도 있는데, 하지만 여러분은 요점을 아셨을 것입니다 곧 다시 뵙겠습니다