음의 지수 (고등 수Ⅱ)

2의 4제곱이라는 것은 1에 2를 4번 곱한 것이죠 해 봅시다 1 곱하기 2 곱하기 2 곱하기 2 곱하기 2 그래서 4, 8, 16 2의 4제곱은 16이군요 이제 더 흥미로운 질문을 해보죠 2의 -4제곱은 무엇일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보시기 바랍니다 이렇게 말할지도 모르겠네요 "-16이나 그런 거겠죠" 하지만 지수 연산을 떠올려보세요 이것은 2의 -1제곱을 하려면 몇 번을 곱하느냐를 말하는 것입니다 하지만 여기서는, -4번을 곱할 거잖아요? 자, '마이너스'라는 게 원래 무슨 뜻인가요? 마이너스 기호는 원래 '반대'의 의미입니다 그러니까 이건 몇 번 곱할지를 나타내는 겁니다 여기에 마이너스를 붙이면, 이건 1부터 시작해서 2로 몇 번 나눌지를 말하는 거 아닐까요? 조금 더 생각해봅시다 1 곱하기, 그 다음에 2로 4번을 나눌 겁니다 2로 나누는 것은 1/2를 곱하는 것과 같죠 1 곱하기 1/2, 그냥 같은 색깔로 표시할게요, 그러니까 1 곱하기 1/2 곱하기 1/2 곱하기 1/2 곱하기 1/2 1/2을 4번 곱한 것은 2로 4번 나눈 것과 정확히 같습니다 이 상황에서, 자, 1 곱하기 1/2은 그냥 1/2이고, 1/2 곱하기 1/2은 1/4, 1/4 곱하기 1/2은 1/8, 1/8 곱하기 1/2은 1/16이죠 이 둘의 관계를 볼 수 있죠? 만약 당신이 1부터 시작해서 2로 4번 나눈다면, 이것은 뭐와 같냐면, 2의 -4제곱은 2의 4제곱분의 1과 같습니다 2의 4제곱분의 1 파란색으로 표시한 것이 마이너스 기호의 역할입니다 마이너스가 여기 있고요, 눈에 잘 띄는 자홍색으로 표시할게요 그러니까 마이너스가 있고, 이것은 ~분의 1입니다 따라서 마이너스 4는 우리가 정의한 것에 의하면 ~분의 1, 그러니까 2의 4제곱의 역수 혹은 2의 4제곱분의 1입니다 그리고 이것은 또한 2x2x2x2 분의 1입니다 2의 4제곱을 2를 4번 곱한 것으로 본다면요 또한 1에 2를 4번 곱한 것으로 볼 수도 있습니다 혹은, 16분의 1과도 같습니다 16분의 1 이것의 예를 좀 더 들어봅시다 더 잘 이해할 수 있게요 3의 -3제곱을 해봅시다 기억하세요. 마이너스 기호를 볼 때마다 '역수를 취해야한다'고 생각해야 해요 따라서 3의 -3제곱은, 마이너스 기호때문에 3의 3제곱분의 1과 같게 됩니다 3의 3제곱분의 1, 이것은 또한 3을 3번 곱한 것분의 1과 같습니다 3x3x3분의 1 혹은 1x3x3x3분의 1은 27분의 1이죠 그러니까 이것은 1/27입니다 다른 예를 들어봅시다 2~3개 정도 더 하겠습니다 음수 밑에 음수 지수는 어떨까요? 헷갈리지 않는지 보려고요 그럼 -4를 밑으로 하고 숫자를 너무 크게 하고 싶지 않으니 그냥 -2를 밑으로 하고, 거기에 -3제곱을 합시다 마이너스 기호를 자홍색으로 표시하겠습니다 -3제곱 이건 어려울지도 모릅니다 마이너스 기호가 지워질까요? 마이너스 기호를 곱하려고 하는 것은 이 경우 맞지 않습니다 여기에는 그걸 적용하지 마세요 기억하세요, 음수 지수는 양수 지수의 역수입니다 따라서 -2의 -3제곱은 -2의 3제곱분의 1입니다 그리고 이것은 (-2)x(-2)x(-2)분의 1과 같습니다 혹은 1x(-2)x(-2)x(-2)분의 1과도 같고요 최종적으로 마이너스 1/8과 같습니다 화면을 조금 움직일게요 수식을 바르게 쓰려고요 어쨌든 마이너스 1/8과 같습니다 헷갈리게 하려고 하나 더 해볼게요 뭘로 할까요 5/8에 -2제곱을 합시다 -2제곱 이번엔 분수에 음수 지수인데 마이너스 기호가 있죠? 기억하세요, 이것은 5/8의 2제곱분의 1입니다 그러니까 이것은 5/8의 제곱분의 1입니다 5/8의 제곱분의 1은, 즉, 색깔을 바꿔서, 5/8 x 5/8 분의 1, 즉 25/64분의 1입니다 25/64분의 1은 그냥 64/25입니다 이걸 말로 표현하자면, 밑의 역수를 취하고 양의 지수를 제곱하면 됩니다 다른 방법으로 생각하자면, 5/8의 -2제곱은 우선 5/8의 역수를 취해서 8/5를 만들고 +2제곱을 합니다 그래서 모든 표현은 동등하고, 또한 밑이 분수가 아닐 때도 적용할 수 있습니다 그러니까 2의 -4제곱은 아래의 방법대로 하면, 2의 역수를 취해서 1/2을 만들고 +4제곱을 하면 됩니다