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밀도곡선에서의 확률

동영상 대본

아래의 밀도 곡선을 봅시다 여기 연속확률변수의 확률분포를 나타내는 밀도 곡선이 존재합니다 이 확률변수는 1부터 5까지의 값을 가지고 1부터 5 사이의 어떤 값을 택해도 같은 확률을 가집니다 1부터 5 사이의 어떤 값을 택해도 같은 확률을 가집니다 X가 4보다 작을 확률을 구해 봅시다 X는 1부터 4까지가 될 수 있습니다 1보다 작은 경우는 없습니다 그리고 이 밀도 곡선 전체 아래의 넓이는 1입니다 그리고 이 밀도 곡선 전체 아래의 넓이는 1입니다 그러니 만약 문제에서 원하는 부분의 비율을 구한다면 문제의 질문에 답할 수 있습니다 우선 1부터 4까지를 봅시다 1부터 시작하는 이유는 1보다 작은 값의 확률은 0이기 때문입니다 1보다 작은 값의 확률은 0이기 때문입니다 밀도 곡선으로부터 알 수 있습니다 그리고 이 부분의 넓이는 어떻게 될까요? 정확히 이 넓이 말입니다 자, 이건 높이가 0.25이고 너비가 3인 직사각형입니다 그러니 넓이는 0.25 x 3인 0.75가 됩니다 자 X가 4보다 작을 확률은 0.75 또는 75%라고 할 수 있습니다 이제 이 작업을 좀 더 복잡한 밀도 곡선에 대해 해 봅시다 중학생들의 신장의 집합은 150cm의 평균과 20cm의 표준편차를 가지는 정규분포입니다 H를 이 집합에서 임의로 뽑은 학생의 키라고 합시다 이제 임의로 뽑은 학생의 키 H에 대해 H가 170cm보다 클 확률을 구해 봅시다 H가 170cm보다 클 확률을 구해 봅시다 자 먼저 밀도곡선을 그립시다 이건 정규분포이죠 문제에서 평균이 150cm이라 했습니다 그러니 이렇게 그리겠습니다 평균값은 여기 150입니다 그리고 표준편차가 20cm이라고 했습니다 그러니 평균에서 20cm 위 정확히 표준편차 하나 위는 170이 됩니다 표준편차 하나 아래는 130이 되겠죠 그리고 이 중학생들 사이에서 임의로 한 명을 골랐을 때 그리고 이 중학생들 사이에서 임의로 한 명을 골랐을 때 키가 170이 넘을 확률을 알고 싶습니다 그 값은 정규분포곡선 아래의 이 영역을 뜻합니다 그 값은 정규분포곡선 아래의 이 영역을 뜻합니다 그 값은 정규분포곡선 아래의 이 영역을 뜻합니다 어떻게 이걸 구할 수 있을까요? 여러가지 방법이 있습니다 이 영역이 평균으로부터 표준편차 하나만큼 떨어져 있다는 걸 압니다 이 영역이 평균으로부터 표준편차 하나만큼 떨어져 있다는 걸 압니다 표준정규분포표를 이용할 수도 있고 정규분포에 대한 일반적인 지식을 이용해서 평균값으로부터 표준편차 하나만큼 아래인 곳과 표준편차 하나만큼 위인 곳 사이의 영역은 표준편차 하나만큼 위인 곳 사이의 영역은 전체의 약 68%란 것을 알 수 있습니다 68.2%정도 됩니다 68이라고 합시다 그리고 평균으로부터 표준편차만큼 하나만큼 떨어진 곳의 윗부분만 계산하면 딱 절반이 나올 것입니다 약 34%정도가 됩니다 그리고 정규분포에서 평균값 아래의 영역이 50%란 것을 알고 있습니다 이 영역이 50%가 됩니다 170아래의 영역, 즉 평균으로부터 표준편차 하나만큼 위인 곳 아래의 넓이는 84% 혹은 약 84%가 됩니다 그리고 이 결과로부터 평균값보다 표준편차 하나만큼 큰 지점아래의 영역을 알 수 있고 문제의 답을 할 수 있게 됩니다 밀도 곡선 아래의 전체 영역은 어떤 밀도 곡선이던지 1이 됩니다 그러니 전체 영역은 1입니다 초록색 영역은 84% 또는 0.84입니다 자, 1에서 이 값을 빼면 파란색 영역이 나옵니다 그러니 이 영역은 1 - 0.84로 어림할 수 있습니다 그러니 이 영역은 1 - 0.84로 어림할 수 있습니다 그리고 이는 약 0.16이 됩니다 만약 조금 더 엄밀한 값을 구하고 싶다면 표준정규분포표를 이용해 보세요 평균으로부터 표준편차 하나만큼 위의 지점 아래에 있는 영역은 84.1%정도가 됩니다 이 부분은 15.9% 또는 0.159가 되겠죠 하지만 우리가 일반적인 방법을 통해 68%로 어림했을 때와 거의 비슷합니다 정규분포에서 평균보다 표준편차 하나만큼 아래 지점과 평균 표준편차 하나만큼 위의 영역을 말입니다 평균 표준편차 하나만큼 위의 영역을 말입니다