이항분포 시각화하기

지난 동영상에서 임의로 변수 x를 동전 하나를 5번 던졌을 때 나온 앞면의 수의 개수로 정의하였습니다 그리고 나서 임의의 변수가 0, 1, 2, 3, 4 또는 5가 될 확률을 알아봤습니다 그리고 시각화를 위해 이 동영상에서는 이것을 그래프로 나태내어 확률변수의 확률분포에 대해 알아보겠습니다 확률변수의 확률분포에 대해 알아보겠습니다 그럼 한번 해봅시다 확률이 보이도록 이렇게 해 보죠 확률이 보이도록 이렇게 해 보죠 여기를 지우겠습니다 효과가 없네요 이건 될 겁니다 화면밖에 있는 이 낙서를 빨리 지우고 확률분포를 그려 봅시다 한 축에는 모든 결과들을 나타냅니다 모든 결과들을 나타냅니다 꽤 똑바른 직선처럼 보이네요 이 축을 확률로 만듭니다 이것도 꽤 곧게 보입니다 확률이 무엇인지 한번 봅시다 확률이 무엇인지 한번 봅시다 모든 분모는 32이고 가장 높은 값은 10/32입니다 여기를 10/32라고 합시다 여기를 10/32라고 합시다 여기 반쯤에 5/32가 두 개 있고요 절반정도에 여기가 5/32입니다 그리고 대략 여기가 1/32입니다 하나, 둘 여기를 하나, 둘, 세 개로 이렇게 나누면 다시 하나, 둘, 셋 넷, 다섯 여기를 1/32라고 합시다 확률은 여깁니다 확률변수가 차지하는 값이 여기가 됩니다 확률변수가 차지하는 값이 여기가 됩니다 여기에 히스토그램을 그려 보겠습니다 x가 0일 때 여기 확률은 히스토그램이니까 이렇게 보일 겁니다 약간 다르게 해보겠습니다 여기에 x가 0일 때 확률은 1/32입니다 그리고 이 안에 빗금을 칩니다 x가 1일 때 확률은 5/32입니다 확률은 5/32입니다 확률은 5/32입니다 막대를 그리고요 이 안에 빗금을 칩니다 바로 이곳은 x가 1일 때의 확률입니다 이것은 동전을 5번 던졌을 때 앞면이 정확하게 1번 나올 때입니다 이제 x가 2일 때 확률은 10/32입니다 이렇게 보일겁니다 최선을 다해 손으로 그리고 있어요 저는 손으로 그린 걸 더 좋아합니다 가끔 컴퓨터로 그리면 느낌을 잃죠 느낌을 잃죠 임의의 변수 x가 2일 때의 확률입니다 임의의 변수 x가 2일 때의 확률입니다 그리고 x가 3일 때도 10/32의 확률을 가집니다 이것 또한 10/32입니다 그려봅시다 이것도 10/32입니다 안에 빗금을 치고요 안에 빗금을 치고요 이상하게도 빗금을 치니까 뭔가 치유되는 느낌이네요 이것이 x가 3일 때의 확률입니다 이것이 x가 3일 때의 확률입니다 이제 x가 4일 때 확률은 5/32입니다 여기로 다시 내려 옵니다 여기가 5/32입니다 안에 빗금을 칩니다 여기가 x가 4일 때이고요 마지막으로 x가 5일 때의 확률은 1/32입니다 마지막으로 x가 5일 때의 확률은 1/32입니다 이것과 높이가 같죠 안에 빗금을 치고 바로 여기가 확률변수 x가 5일 때입니다 이 확률분포를 볼 때 이 확률분포를 볼 때 이산 확률분포라는 것을 아는 것이 중요합니다 이것이 이산확률변수이니까요 이것은 유한변수를 가집니다 유한 이산확률변수죠 유한 이산확률변수죠 이산변수의 값을 가진다고만 하면 이론적으로 무한이산변수를 가질 수도 있습니다 계속해서 더 높게 할 수도 있어요 여기서는 특정 값만 가질 수 있기 때문에 이산은 맞습니다 여기서는 특정 값만 가질 수 있기 때문에 이산은 맞습니다 이 사이에서는 어떤 값도 가지지 않죠 그리고 이것 또한 정해진 값입니다 x는 오직 x=0, x=1 x=2, x=3, x=4 또는 x=5 중 하나입니다 그리고 확률분포를 그려보면 이 이산확률분포는 1/32에서 시작해서 점점 증가하다가 다시 감소합니다 대칭성이 있습니다 여기 이것과 같은 분포는 이런 이산분포를 이항분포라고 부릅니다 나중에 왜 이항분포라고 부르는지 알아보도록 하겠습니다 왜 이항분포라고 부르는지 알아보도록 하겠습니다 왜 그런지 지금 알려드리죠 왜 그런지 지금 알려드리죠 이 확률을 이항계수를 사용해서 얻을 수 있기 때문입니다 조합을 사용해서 말이죠 다른 동영상에서 이항정리를 다룰 때 이것들을 이항계수라고 부르는 이유를 알아보겠습니다 대수학에서 이진법에 기반을 둔 것입니다 이것은 매우 중요한 분포입니다 통계에서 매우 중요한데 많은 이산과정에서 기본이 되는 분포가 이항분포라고 가정합니다 기본이 되는 분포가 이항분포라고 가정합니다 통계에 대해 더 깊이 공부해 보면 사람들이 왜 그렇게 하는지에 대해 알 수 있을 것입니다 만약에 경우의 수가 5가지 이상이라면 만약에 경우의 수가 5가지 이상이라면 동전을 5번 던졌을 때 동전의 앞면의 수를 말하는 대신에 5백만번 동전을 던졌을 때의 앞면의 수를 x라고 한다면 훨씬 많은 값이 있겠죠 이 막대는 전체의 모양에 관해 점점 더 좁아질 것이고 이것은 종과 같은 모양에 접근하기 시작할 겁니다 여러분이 더 잘 볼 수 있도록 아직 사용하지 않은 색을 사용할게요 이렇게 보이기 시작합니다 만약 점점 더 많은 확률을 가지면 이것은 종모양처럼 보이기 시작할 것입니다 아마도 모양의 곡선에 대해 들어봤을 것입니다 이 종모양 곡선이 바로 정규분포입니다 정규분포가 확률밀도함수라고 생각할 수도 있겠네요 정규분포가 확률밀도함수라고 생각할 수도 있겠네요 연속적인 경우에요 이 노란색은 정규분포에 접근하고 있습니다 그리고 정규분포는 계속 이어질 것이고 그리고 정규분포는 계속 이어질 것이고 이는 이항과 관련이 있습니다 통계학에서 정규분포라고 가정하는 경우가 많이 있는데 무한히 많은 임의의 실행에서 나오는 값이기 때문입니다 무한히 많은 임의의 실행에서 나오는 값이기 때문입니다 여기선 동전을 5번 던지지만 만약 분자의 상호작용 또는 인간의 상호작용을 생각한다면 무한한 상호작용이 있고 그것은 정규분포가 될 것입니다 과학과 통계에서 매우 중요한 사실입니다 이항분포는 그것이 이산의 개념입니다 그렇게 분포가 존재하고 분포가 생겼으며 서로 연관되어 있습니다 만약 여러분이 점점 더 많이 시도한다면 이항분포가 실제로 정규분포에 근접할 것입니다 그러나 이것이 어디에서 왔는지 생각해 보는 것이 중요합니다 많은 다른 유형의 과정에서 기본 이항분포 또는 정규분포를 기본으로 가정하는 것이 합리적이기 때문에 통계학에서 훨씬 더 많이 이야기 합니다 그러나 때때로 심지어 경제학에서도 경제 위기나 기타 다른 상황과 같이 끝쪽에 있는 사건이 발생할 가능성이 크다고 느낄 때 사람들은 정규분포를 생각합니다 주제를 벗어나고 있네요 여기서 말하고자 하는 요점은 확률변수 동전을 5번 던져서 나온 앞면의 수에서 시작했습니다 그리고 이것을 만들고 이 이항분포를 시각화 할 수 있었다는 것입니다 그리고 아직 직접 보여주지는 않았지만 만약 무수히 많이 동전을 던진다면 비슷한 방법으로 확률변수를 정의하면 이 히스토그램은 종 모양과 비슷하게 될 것입니다 그리고 만약 무한한 수를 가진다면 그리고 만약 무한한 수를 가진다면 연속확률분포를 가지기 시작할 것입니다 또는 확률밀도함수라고 말할 수도 있고 그러면 정규분포에 더 가까워 집니다