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주요 내용

이항확률변수의 평균과 표준편차를 구해 봅시다.

이항확률변수의 평균과 표준편차를 구하는 법을 배워 봅시다.

동영상 대본

한 회사에서 휴대폰을 위한 프로세싱 칩을 생산한다고 합니다 이 회사의 한 큰 공장에서는 생산한 2%의 칩에서 결함이 발생했습니다 품질 평가는 500개의 칩을 임의로 선택하고 검사하는 과정을 거칩니다 이 표본에서 결함이 있는 프로세싱 칩의 수의 평균과 표준편차는 얼마일까요? 언제나 그랬듯이 이 영상을 멈추고 직접 풀어보세요 그러고 나면 함께 풀어보겠습니다 좋습니다 평균과 표준편차를 구해야 하는 확률변수를 정의해 보겠습니다 그리고 그 확률변수를 500개의 표본에서 결함이 있는 프로세싱 칩의 수라고 하겠습니다 결함이 있는 프로세싱 칩의 수라고 하겠습니다 x가 500개의 표본 칩에서 결함이 있는 칩의 수와 같다 하겠습니다 x가 500개의 표본 칩에서 결함이 있는 칩의 수와 같다 하겠습니다 주의해야할 첫 번째 점은 이것이 이항변수라는 점입니다 이것은 이항변수입니다 이것이 이항변수란 것을 어떻게 알 수 있나요? 500개라는 표본이 있고 그것은 바로 여기 유한한 시행 횟수를 의미하며 결함이 있는 칩이 나올 확률은 여기서는 성공확률로 봐야 합니다 결함 있는 칩이 성공이라는 점이 약간 직관에는 반하지만 결함 있는 칩을 계산하고 있으므로 결함 혹은 결함있는 칩의 확률로 보아야 합니다 500번의 시행에서 일정하고 각각 독립이라고 가정할 겁니다 0.02로 일정합니다 칩을 계속 복원하는지 물어볼 수도 있는데 기능적으로 무한대의 칩이라고 가정하도록 하겠습니다 그렇게 생각하기 싫다면 칩을 복원한다고 해도 좋습니다 문제에서는 딱히 말해주지 않고 있기 때문에 각 시행이 독립이라고 가정하겠습니다 그리고 결함있는 칩이 나올 확률은 이처럼 일정합니다 따라서 이것은 이항확률변수 혹은 이항변수이며 이항변수의 평균과 표준편차를 구하기 위한 공식을 알고 있습니다 구하기 위한 공식을 알고 있습니다 평균, X의 평균 혹은 X의 기댓값은 시행의 횟수 n과 각 시행에서 성공 확률 p를 곱한 것이고 그러면 뭐가 되죠? 이것은 무엇과 같으냐면 500번의 시행과 각 시행에서 성공확률인 0.02 따라서 500 x 0.02이고 그러면 몇이죠? 500 x 0.02는 10이 됩니다 이것이 결함 있는 프로세싱 칩의 수 혹은 평균입니다 표준편차는 어떻게 구할까요? 확률변수 X의 표준편차는 무엇과 같냐면 확률변수 X의 분산의 제곱근과 같습니다 좀 써보겠습니다 다양한 방법으로 써서 보여드리겠습니다 왜냐하면 통계학에서 표기법이 가장 헷갈리는 부분이기 때문이죠 그래서 이것이 무엇의 제곱근이죠? 이항변수의 분산은 시행횟수와 각 시행에서 성공 확률 1 - 각 시행에서 성공할 확률을 곱한 값입니다 따라서 여기서는 이것이 500 x 0.02에 500 x 0.02에 1 - 0.02를 곱한 것인데 1 - 0.02는 0.98입니다 따라서 0.98을 곱해 주면 됩니다 이것 전체가 근호에 들어가죠 근호를 너무 짧게 썼네요 그래서 계산하면 얼마가 되죠? 500 x 0.02는 이미 계산해서 10으로 알고 있고 10 x 0.98이므로, 이것은 √9.8입니다 계산하면 대략 3.몇이 나옵니다 원한다면, 계산기를 꺼내서 정확한 값을 구할 수 있습니다 9.8을 입력하고 제곱근을 구하겠습니다 소수 셋째 자리에서 반올림하면 3.13이 나옵니다 따라서 표준편차는 약 3.13입니다 분산을 원한다면 9.8이 되겠죠 하지만 표준편차를 물어봤으니까 이것을 계산한 것입니다 즐거운 시간이었길 바랍니다