예제: 이산확률변수의 변환

아누시가 자유투를 두 번 던지는 카니발 게임을 하고 있습니다 아누시가 자유투를 두 번 던지는 카니발 게임을 하고 있습니다 아래의 표는 아누시가 쏘는 슛 두 번의 통계를 나타내는 아래의 표는 아누시가 쏘는 슛 두 번의 통계를 나타내는 확률변수 X의 분포입니다 자 여기 확률변수 X가 있습니다 이는 이산확률변수입니다 이는 오직 유한한 개수의 값을 가집니다 셀 수 있는 개수의 값을 가진다고 할 수도 있습니다 0, 1 혹은 2개의 자유투를 성공시킬 수 있다는 걸 알 수 있습니다 그리고 0개를 성공할 확률은 이것이고 1개는 여기, 2개는 여기 써 있습니다 그리고 X의 평균과 표준편차가 주어져 있습니다 그리고 문제에서 아누시가 게임을 하기 위해 15달러를 냈고 슛을 성공할 때마다 10달러를 얻을 때 총 수익을 나타내는 N의 평균과 표준 편차는 얼마인지 묻고 있습니다 자, 새로운 확률변수 N을 정의합시다 총 수익을 뜻합니다 총 수익을 뜻합니다 N은 X에 관한 식으로 나타낼 수 있습니다 총 수익은 얼마가 될까요? N은 10에 성공한 횟수를 곱한 값입니다 N은 10에 성공한 횟수를 곱한 값입니다 10X가 되겠죠 그리고 무조건 게임에 참여하려면 15달러를 내야 합니다 15달러를 빼 줍니다 여기 N의 분포에 대한 작은 표를 하나 만들 수 있습니다 여기에 만듭시다 위의 표와 비슷하게 만들겠습니다 N은 총 수익을 뜻합니다 그리고 여기 N의 확률이 나옵니다 그리고 여기 세 결과가 나오죠 결과는 슛을 0번 성공했을 때는 10 x 0 - 5가 됩니다 총 수익은 -15가 되겠죠 그리고 확률은 똑같이 0.16입니다 하나를 성공했을 때, 총 수익은 10 x 1 - 15이니까 -5가 됩니다 확률은 위와 똑같습니다 아누시는 48%의 확률로 하나만 넣습니다 그러니 5달러를 잃을 확률은 48%입니다 그리고 마지막으로 X가 2일 때 총 수익은 5달러가 됩니다 X가 2일 때 총 수익은 5달러가 됩니다 그리고 확률은 0.36입니다 문제에서 원하는 것은 총 수익의 평균과 표준편차가 얼마인지입니다 N의 평균을 한 번 구해 봅시다 어떤 확률 변수를 늘리면 평균값은 같은 배수만큼 증가하게 됩니다 그리고 확률변수를 움직이게 되면 평균값 또한 같은 양만큼 이동하게 됩니다 그러니 N의 평균은 X의 평균에 10을 곱하고 15를 뺀 값이 됩니다 그러니 N의 평균은 X의 평균에 10을 곱하고 15를 뺀 값이 됩니다 그러니 N의 평균은 X의 평균에 10을 곱하고 15를 뺀 값이 됩니다 이는 10 x 1.2 - 15 이것이 1.2이고 12 - 15는 -3이 됩니다 이제 N의 표준편차는 약간 다릅니다 표준편차의 경우 늘리는 것은 영향을 끼칩니다 만약 확률변수에 특정 상수를 곱하면 표준편차도 같은 값만큼 곱해집니다 그러니 이것은 10에 X의 표준편차를 곱한 값입니다 그러니 이것은 10에 X의 표준편차를 곱한 값입니다 이제 이동하는 것은 어떻게 되는지 궁금할 것입니다 하지만 단순한 이동은 확률변수의 산포도에 영향을 끼치지 않습니다 만약 확률변수를 늘리면 산포도는 늘린 정도만큼 더욱 퍼지게 됩니다 하지만 이동하게 되면 평균으로부터의 산포도는 이에 영향을 받지 않습니다 표편차는 단지 늘리는 것에만 영향을 받습니다 이동하는 것은 영향을 받지 않죠 그러니 표준편차의 값은 10에 0.69를 곱한 값입니다 그러니 표준편차의 값은 10에 0.69를 곱한 값입니다 계산하면 이건 근사값입니다 이것을 계산하면 약 6.9라고 할 수 있습니다 그러니 총 수익에 대한 새로운 분포에서 이것이 총 수익의 평균값입니다 이것이 총 수익의 평균값입니다