파스칼의 삼각형과 이항정리

이전 영상에서 이항정리를 사용하여 (a+b)의 네제곱이 무엇인지 알아보고 전개해보았습니다 조금 지루한 작업이었지만 도움이 되셨다면 좋겠습니다 또한 (a+b)의 7승, (a+b)의 8승 등의 더 높은 고차식에 대하여 적용해보는 것도 의미가 있을 것입니다 하지만 오늘은 다른 방법에 대해 생각해봅시다 바로 파스칼의 삼각형을 사용하는 방법입니다 그리고 시간이 있다면 이항정리와 파스칼의 삼각형이 왜 연관이 깊은지도 알아봅시다 (a+b)의 네제곱을 이항정리로 계산하는 대신 파스칼의 삼각형과 전개된 항의 패턴을 사용해 계산해보겠습니다 우리가 계산하려는 것은 (a+b)의 네제곱입니다 (a+b)의 네제곱입니다 그리고 파스칼의 삼각형을 그려보겠습니다 맨 위의 1에서 시작해봅시다 위에서 시작했을 때, 각각의 층에 대해 각각의 마디에 도달할 수 있는 서로 다른 방법들을 셉니다 그러므로 1에서 시작하면 여기 도달할 수 있는 방법은 1가지밖에 없고 여기도 마찬가지입니다 하니만, 이 3번째 층은 여기 도착하는 방법은 1+1이므로 2가지 방법이 됩니다 그리고 나머지 부분은 각각 1가지 방법이 있죠 저 두 곳에 도달할 수 있는 방법은 이렇게 뿐이니까요 하지만 이 부분에 도달할 수 있는 방법은 이렇게, 또는 저렇게도 할 수 있습니다 그리고, 4번째 층에 대해 알아보자면 이곳에 도달할 수 있는 방법은 1가지 뿐이지만 이 부분은 3가지 방법이 있습니다 1+2 해서 3가지 방법입니다 이 방법들이 각각 부엇일까요? 이렇게 가거나, 저렇게 가거나 이렇게도 갈 수 있습니다 똑같은 논리로 이 부분에 도달하기 위한 방법은 3가지입니다 그리고 이 점에 도달하기 위한 방법은 1가지뿐입니다 그리고 우리가 네제곱에 대해 고려할 때 구해야 하는 5번째 층에 대해 알아봅시다 이부분은 실제적으로 0승입니다 각각 0승, 1승, 2승, 3승에 대한 이항식입니다 한번 4승에 대한 식도 구해봅시다 이 점에 도달하려면 얼마나 많은 방법이 있나요? 왼쪽 부분을 따라 쭉 내려가는 방법밖에 없습니다 그러므로 1가지 방법입니다 여긴 4가지 방법이 있습니다 이렇게 갈 수 있고, 저렇게 갈 수 있고, 이렇게도 갈 수 있고, 저렇게도 갈 수 있습니다 여긴 6가지 방법이 있습니다 이 점에 도달하기 위한 3가지 방법, 저 점에 도달하기 위한 3가지 방법 그러므로 저긴 6가지 방법이 있습니다 여긴 3+1 해서 4가지 방법이 있습니다 또, 이 점으로 가는 한가지 방법이 있습니다 이제, 만들어진 삼각형을 보면 첫 층은 이항식을 0승 하였을 때의 모습입니다 두번째 층은 이항식을 1승 하였을 때의 모습이죠 세번째 층은 2승입니다 당연하게도 이항식을 1승하면 a와 b의 계수는 그냥 1 과 1일 것입니다 하지만, 제곱하였을 때는 a^2 + 2ab + b^2 일 것입니다 3승을 하였을 때는, 이 수들이 각각 계수가 될 것입니다 4승의 경우, 계수는 다음과 같습니다 이제 이 수들을 다시 한번 써봅시다 계수들은 각각 1, 4, 6, 4, 1이 될 것입니다 그렇다면 a와 b의 차수는 어떻게 알 수 있을까요? a의 차수가 가장 높은 상태부터 시작하면 됩니다 a의 4승, 그 다음에 1씩 감소합니다 a의 4승, a의 3승, a의 2승, a의 1승, 그 다음엔 a의 0승입니다 1이라고도 쓸 수 있을 것입니다 b는 가장 낮은 0부터 시작합니다 그 다음에는 b의 1승, b의 2승, b의 3승, b의 4승이 됩니다 그 다음에 이 항들을 모두 더해주면 됩니다 이게 그 결과입니다 방금 (a+b)의 네제곱을 전개해보았습니다 제가 방금 적은 것과 정확히 똑같습니다 여기있는 a의 4승은 이 항과 같습니다 a^4 b^0은 그냥 a의 4승과 같습니다 여기 있는 항은 이 항과 일치되고요 결과적으로 같은 식을 얻었다는 것이 분명합니다 왜 이런 결과가 나왔을까요? 비디오를 멈추고 혼자 생각해보십시오 일단 첫 층을 봅시다 (a+b)의 제곱을 한다면 (a+b)의 제곱을 한다면 (a+b)(a+b)가 될 것입니다 (a+b)(a+b)가 될 것입니다 (a+b)(a+b)가 될 것입니다 각각 a 와 b 가 하나씩 존재할 것입니다 이 식을 곱하면 a의 제곱을 얻을 수 있습니다 방금의 방법은 a의 제곱을 얻을 수 있는 유일한 방법이었습니다 a의 제곱을 얻는 방법은 한가지 방법밖에 없는 것입니다 그 다음으로, a*b 항의 경우는 두개의 항이 생기게 됩니다 두개의 항이 생기게 됩니다 거기에 b의 제곱 항을 더해주면 됩니다 칠판을 봅시다 a의 제곱항을 얻을 수 있는 방법에는 몇가지가 있나요? 한가지 방법밖에 없습니다 이 a와 저 a를 곱하는 방법입니다 마찬가지로, 이 부분으로 도달하는 방법도 1가지밖에 없습니다 그렇다면 b의 제곱은 몇개일까요 그렇다면 b의 제곱은 몇개일까요 마찬가지로 한개입니다 마찬가지로 한개입니다 그렇다면 ab의 경우에도 1가지일까요? 두가지 방법이 있습니다 이 a 를 저 b와 곱하는 방법, 이 b를 저 a와 곱하는 방법입니다 이 2란 수는 파스칼 삼각형의 저 수와도 일치합니다 즉, 결과적으로 (a+b)^2 을 계산했을 때 a^2 + 2ab + b^2을 얻게 됩니다 계수들이 모두 파스칼 삼각형의 수와 일치한다는 사실을 유념하십시오 1 2 1, 1 2 1 왜 그렇죠? a의 제곱항을 얻을 방법은 1가지이고, ab항을 얻을 방법은 2가지이고, b의 제곱항을 얻을 방법은 1가지 밖에 없기 때문입니다 (a+b)의 3제곱의 경우, 마찬가지로 a^3을 얻을 방법은 1가지밖에 없습니다 a를 모두 곱하는 방법입니다 b^3도 마찬가지입니다 하지만 a^2* b 를 얻는 방법은 3가지입니다 하지만 a^2* b 를 얻는 방법은 3가지입니다 위에서 한 대로 식을 전개해보면 위에서 한 대로 식을 전개해보면 a^2* b 를 얻는 방법은 3가지라는 것을 알 수 있습니다 또한 a*b^2를 얻는 방법도 3가지입니다 또한 a*b^2를 얻는 방법도 3가지입니다 또한 a*b^2를 얻는 방법도 3가지입니다 정리하면 (a+b)^3을 얻을 수 있죠 도움이 되셨다면 좋겠습니다