부피와 단면이란?

곡선 사이의 넓이를 구하는 법을 이미 배웠습니다 그렇지 않다면 칸아카데미에서 복습해 보세요 예를 들어 정적분을 사용하여 노란색 부분의 넓이를 구할 수 있습니다 이번 영상에서 배울 내용은 좀 더 흥미로운 것입니다 부피를 구할 것입니다 여기서 가로의 길이는 두 곡선 사이의 넓이로 주어집니다 해당 영상에서 도형을 생각하고 삼차원으로 그리겠습니다 다시 그려봅시다 하지만 다르게 말이죠 따라서 이를 y축으로 합시다 y축입니다 이는 x축이죠 이는 x축이죠 이는 y는 6입니다 여기 선분이죠 y = 6입니다 여기 점선은 이렇게 그리겠습니다 여기 점 x는 2입니다 그리고 이 y의 그래프sms 4 곱하기 log(3 - x) 다음과 같을 것입니다 다음과 같을 것입니다 따라서 이 부분이 이 부분입니다 하지만 이는 삼차원 도형의 가로의 길이이며 단면이 여기서 단면을 구하면 정사각형이 나옵니다 따라서 이 길이가 어떻든 높이가 이 정도이며 따라서 단면이 여기 이 정사각형입니다 단면이 정사각형입니다 이 두 함수의 차가 얼마든 간에 이게 높이입니다 이 길이는 이 점에서 6이고 이 길이도 높이가 됩니다 이는 정사각형입니다 꽤 크겠네요 화면을 내려서 전체를 다 그릴게요 비율이 얼추 맞네요 따라서 이와 같을 것입니다 정사각형이 나와야 합니다 다음과 같을 것입니다 따라서 전체 도형은 다음과 같이 생겼습니다 이렇게 생겼죠 색을 조금 칠해서 이해가 쉽도록 해볼게요 어떤 도형인지 알겠죠 몇몇 분은 흥미로워 하고 또 무서워 할 수도 있습니다 이차원 도형을 너무 오래 다루었습니다 이 삼차원은 어떨까요? 하지만 우리는 적분을 이용하여 이를 풀 능력이 있습니다 이를 위해선 도형을 분리하여 다음과 같이 깊이를 가지는 정사각형 타일의 모음이라 볼 수 있습니다 따라서 이를 작은 타일로 만듭니다 높이를 가지죠 여러 부분에 그릴 수 있습니다 이를 매우 작은 높이를 가지는 도형들로 생각할 수 있습니다 이를 dx라고 부르죠 이제 부피를 구할 수 있습니다 이 중 한 개의 부피가 무엇인가요? 이는 넓이 곱하기 높이입니다 즉 해당 단면의 곡면적입니다 다른 색으로 칠해봅시다 분홍색으로 색칠한 이 부분의 넓이가 무엇인가요? 따라서 넓이는 가로의 제곱입니다 가로의 길이가 뭔가요? 이는 이 두 함수의 차입니다. 이는 6 빼기 아래 함수의 값은 4 곱하기 log(3-x)입니다 이게 가로 길이를 줍니다 이를 제곱하면 넓이를 구할 수 있습니다 제곱을 해서 넓이를 구합니다 이 값 곱하기 높이를 합니다 이 값 곱하기 높이를 합니다 따라서 여기 이 작은 부분의 부피를 구하고 이제 어떻게 될지 봅시다 이를 모두 더하면 x = 0부터 x = 2까지 더하면 어떻게 될까요? 따라서 이 전체 도형의 부피를 구했습니다 이게 정적분의 힘입니다 따라서 x = 0부터 x = 2까지 적분을 할 수 있습니다 가로가 가로지르는 부분에 그리면 이 부분을 여기에 그리면 다음과 같습니다 여기 이렇게 그리죠 이는 dx입니다 따라서 dx와 함수의 차를 곱하는 것 대신에 함수의 차를 제곱을 할 것입니다 왜냐하면 삼차원 도형을 그리기 때문이죠 이 삼차원 도형의 곡면적은 이 작은 직사각형의 높이와 반대죠 그리고 이 적분의 값을 구하면 이 부피를 구할 수 있습니다 이 페데스탈 기둥과 같은 것의 부피요 해당 정적분은 풀기 쉽지 않습니다 하지만 계산기가 있으면 가능하죠 따라서 따라서 math 를 클릭합니다 9를 클릭하여 정적분을 선택합니다 그리고 해당 식을 대입합니다 0부터 2까지 그리고 괄호를 넣겠습니다 전체 식을 제곱해야 하기 때문이죠 6 - 4 곱하기 log(x) log(3 - x)입니다 이제 로그의 괄호를 닫습니다 그리고 전체 괄호를 닫으면 제곱을 합니다 그리고 x에 대해서 적분을 합니다 대략 26.27이 나옵니다 따라서 대략 26.27이며 이는 부피입니다 단위를 생각하면 세제곱입니다