단면을 이용한 부피: 삼각형

자 우리가 상상할 수 있는지 봅시다 3차원 입체도형을 말이죠 그 밑면으로 보이는 것이 이 색칠된 영역인데 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프 사이의 영역이죠 이것은 밑면인데 그러니까 이 보라색이 연보라색 아니면 보라색같은 이것이 그 입체의 밑면입니다 이것이 화면 위로 튀어나왔다고 보면 제가 여기 파란색으로 그린 것처럼 이러한 종류의 산마루를 입체적으로 볼 수 있는 것이죠 만약 당신이 이것의 단면을 자른다면 지금 이 노란선이 단면인데 만약 단면을 자른다고 하면 세로로 정확하게 말하자면 x축에 수직으로 자른다고 하면 이 단면적들은 직각이등변삼각형이 될 것입니다 이 단면적은 이런 식으로 생겼습니다 눕혀서 본다면 말이죠 그래서 여기에 세워져 있는데 이것은 당신의 종이나 스크린 위로 튀어나와 있습니다 당신이 이것을 눕혀서 본다면 그 단면적들은 이렇게 보이겠죠 직각이등변삼각형이 될 것입니다 직각이등변삼각형의 빗면이 밑면 위에 있습니다 밑면에 있죠 이건 이등변입니다 두 개의 길이가 같구요 직각삼각형입니다 그리고 이 거리는 저 점과 이 점 사이의 거리는 f(x)와 g(x) 사이의 거리와 같습니다 여기 이 x값에 해당하는 f(x)와 g(x)에 대해서 말이죠 우리가 이 x값을 변화시킴에 따라 그 값도 변화함에 틀림없구요 여기 이 모양을 시각화하는 것을 돕기 위해서 좌표 평면 위에 그림을 그려보았습니다 여기서 우리가 각이 위쪽에 있다고 보면 당신은 이제 보이기 시작할겁니다 이 입체가 어떻게 생겼는지를 말입니다 다시 한 번 말하지만 저는 밑면을 그렸습니다 평면 위에 밑면을 그렸죠 바로 여기에 말입니다 이걸 명확하게 할 필요가 있겠군요 이렇게 하겠습니다 단면을 칠하는데 저 단면들과 평행하게 칠합시다 자 이렇게 밑면을 그렸을 때 여기에는 두 개의 면이 있습니다 제가 여기 그려놓은 곳에 면이 있습니다 당신은 아마 이 위쪽 또는 왼쪽 편에서 볼 수 있을 겁니다 바로 여기죠 이 그림에서 보면 여기가 될 것입니다 우리가 이 입체를 위에서 봤을 때 말이죠 다음으로 당신은 다른 면이 있는데 이 그림에서는 나름 오른쪽에 있다고 볼 수 있는 이 면입니다 여기서 그 면은 좀 더 우리가 여기서 볼 수 있듯이 그 면은 아래쪽입니다 제가 이 입체를 설정하고 시각화한 궁극적인 이유는 당신이 이 입체의 부피를 설명하는 정적분을 알아낼 수 있는지 보기 위해서 입니다 뭐 거의 반으로 잘린 미식축구 공이나 혹은 조금 찌그러진 럭비볼을 닮은 이 입체를 말이죠 이 입체의 부피를 나타내는 정적분의 표현 방식은 무엇일까요 이 점에서 교차한다는 사실을 이용하는 것을 권장합니다 이 두 개의 함수는 점 (0,0)과 (c,d)에서 교차합니다 그럼 당신은 표현법을 생각해 낼 수 있나요 용어들로 정의되는 표현법을요 0 그리고 c, d 그리고 f나 g와 같이 이 입체의 부피를 설명하는 용어들로 말이죠 당신이 이 영상을 멈추고 이것에 대해 열심히 생각해봤다고 보고 계속 진행하겠습니다 만약 우리가 부피를 구하고 싶다고 한다면 이를 구하는 한가지 방법은 다른 부피를 구하는 것입니다 우리는 이 부피를 이 삼각형들의 각각의 부피로 근사할 수 있습니다 그것은 이 삼각형들 각각의 넓이에 아주 작은 깊이를 곱한 것이죠 매우 작은 깊이를 말이죠 깊이를 표현하기 위해 그냥 음영을 넣겠습니다 우리는 이를 dx라고 부르겠습니다 다시 말하면 우리는 각각의 부피를 구할 수 있습니다 영역을 찾음으로써요 그리니까 이 단면적을 찾아 곱하면 되는 겁니다 작은 dx와 말이죠 이 dx는 우리에게 3차원 그러니까 이게 작은 dx인데 이것이 3차원적으로 생각할 수 있도록 해줍니다 이것이 dx이죠 더 반듯하게 쓰겠습니다 dx는 우리에게 약간의 3차원적인 깊이를 제공합니다 우리는 어떻게 입체들 중 하나의 부피가 무엇인 것 처럼 보여질까요 음 만약 우리가 그냥 이 높이를 h라고 합시다 우리는 이 h가 f(x)-g(x)인 것을 압니다 그것은 바로 여기의 거리와 같죠 이것을 h라고 부릅시다 우리는 h가 h(x)라고 불러야 할 것 같군요 x에 관한 함수가 될 것이니까요 h(x)는 f(x)-g(x)입니다 h가 주어졌을 때 이 삼각형의 넓이는 어떻게 될까요 이것은 45도, 45도, 90도의 각을 가진 삼각형입니다 이 각이 90도이고 이것은 45도가 될 것입니다 이것 또한 45도가 되어야 하구요 우리는 이 삼각형에서 두 변의 길이에 제곱근 2을 곱하면 빗변의 길이인 것을 알고 있습니다 따라서 이 길이는 빗변 길이의 2분의 제곱근 2일 것입니다 (√(2)/2)*h이죠 피타고라스의 정리를 통해서 바로 구할 수도 있습니다 만약 이 변이 길이가 a라고 합시다 그러면 이 변도 길이가 a이고 당신은 a²+a²이 h²과 같다는 식 또는 2a²=h² 라는 식 또는 a²=h²/2 라는 식 또는 a=h/√(2) 라는 식을 얻을 수 있는데 이는 √(2)h/2 와 같습니다 그냥 분모를 유리화 하면 되는데 분모와 분자에 √(2)를 곱해주면 됩니다 이렇게 변의 길이를 구했습니다 그럼 이 넓이는 어떻게 될까요 그냥 밑변의 길이에 높이를 곱하고 거기에 ½을 곱하면 넓이가 됩니다 이걸 적어보도록 합시다 넓이는 여기 이 넓이는 그냥 밑변 그러니까 √(2)h/2 에 높이 √(2)h/2 를 곱해주고 ½를 곱해준 것과 같습니다 ½을 곱합시다 만약 우리가 ½을 곱해주지 않으면 우리는 이 사각형의 넓이를 구하게 될 것입니다 우리는 삼각형을 다루고 있기 때문에 ½을 해줍시다 그럼 이 넓이는 어떻게 될까요 √(2)/2에 √(2)h/2를 곱하면 ½이 될 것이고 그리고 여기 ½이 하나 더 있습니다 그러니 그 값은 ¼이 될 것이고 넓이는 h²/4 이 될 것입니다 제가 맞게 했나요 이것은 봅시다 이 둘은 4분의 2가 될 것인데 곧 ½이 되고 여기에 또다른 ½을 곱했으니 h²/4은 이것의 넓이가 됩니다 이제 이 각각의 삼각형의 부피는 어떻게 될까요 여기에 있는 각 삼각형의 부피는 이 부피는 그냥 이 넓이에 dx를 곱한 것이 될 것입니다 그러니까 h²/4에다가 깊이 dx를 곱한 것이 되겠죠 만약 우리가 이렇게 생긴 도형 다발을 x=0부터 x=c까지 쭉 더한다고 하면 우리는 결국에는 이 입체 전체의 부피를 구할 수 있습니다 그럼 이것을 어떻게 적으면 될까요 이걸 적고 싶습니다 우리는 이 입체의 부피를 구하는 방법을 이해하고 싶습니다 여기서부터 확장해서 말이죠 이제 부피를 적어봅시다 이것은 부분의 부피입니다 단면의 부피이죠 그럼 전체의 부피는 무엇일까요 부피는 이 입체의 부피는 이 입체의 부피는 정적분이 될 것입니다 x=0에서부터 x=c까지 h²/4을 정적분한 값이죠 ¼ 그리고 우리는 h가 h(x)=f(x)-g(x)인 것을 압니다 따라서 h 대신 f(x)-g(x)를 적어줍니다 {f(x)-g(x)}²dx 이네요 dx를 적어주면 끝났습니다 우리는 방금 막 찾았습니다 부피를 표현하는 정적분의 표현법을요 우리가 정의한 이 이상한 입체의 부피를 말이죠