부피와 단면: 정사각형과 직사각형 (그래프 없음)

입체의 밑변은 y = -x^2 + 6x - 1의 그래프와 y = 4 사이의 구간입니다 x 축에 수직하는 입체의 단면은 높이가 x인 직사각형입니다 정적분을 이용하여 부피를 구해봅시다 영상을 멈추고 풀어보세요 좋습니다 여기서 흥미로운 점은 그래프의 식이 주어졌지만 그림을 그리진 않았습니다 이를 그려야 합니다 그리기 위해선 문제에서 말한 이 부분을 그려봅시다 먼저 해야할 것은 이 두 선분이 접하는 점을 구해야 합니다 y 값이 같을 경우가 언제인가요? 또 다른 방법은 언제 값이 4와 같나요? 두 식이 같다고 하면 -x^2 + 6x -1 = 4입니다 이는 두 식이 접하는 x값을 줍니다 따라서 x에 대하여 풀면 4를 양변에서 뺍니다 -x^2 +6x -5 = 0입니다 양변을 -1로 곱합니다 x^2 - 6x + 5 = 0입니다 이는 인수분해 하기 쉽습니다 1 곱하기 5는 5입니다 혹은 -1 곱하기 -5는 5입니다 그리고 -1 더하기 -5는 -6입니다 따라서 이는 x - 1 곱하기 x - 5는 0입니다 따라서 x가 1일 경우나 5일 경우 접합니다 앞에 음수가 있기 때문에 이차 항 앞에 말이죠 이는 위를 향하는 그래프입니다 y = 4와 접하는 점은 x = 1 그리고 x = 5입니다 따라서 정점이 이 사이입니다 따라서 정점은 x = 3입니다 이를 그려봅시다 이는 다음과 같습니다 좀 입체적으로 그려보겠습니다 삼차원으로 말이죠 이는 y축입니다 이는 이는 x 축입니다 y 값을 그려봅시다 1 2 3 4 5 6 7, 8 충분하네요 y = 4가 있습니다 이는 다음과 같습니다 따라서 이는 y = 4입니다 따라서 y = -x^2 + 6x - 1이 y = 4와 x = 1 혹은 x = 5 에서 접합니다 봅시다 1 2 3 4 5 따라서 x = 1 점이 여기에 위치합니다 1, 4 그리고 5, 4입니다 따라서 정점은 x = 3일 경우입니다 이는 다음과 같습니다 3을 대입해 봅시다 한 번 봅시다 y = -9 3제곱 더하기 18 빼기 1입니다 이는 값이 얼마인가요? 이는 y는 8과 같습니다 따라서 이 점은 3, 8입니다 이는 5, 6, 7, 8 여기입니다 따라서 이 겨우는 보이는 것과 같은 경우를 해결합니다 이 부분을 구해야 합니다 이게 입체의 밑면입니다 입체의 단면은 x 축에 수직하며 단면을 하나 그려봅시다 x 축에 수직하는 단면은 직사각형이고 세로가 x입니다 세로가 x입니다 세로가 x입니다 이제 가로가 무엇인가요 이 직사각형의 가로요 이는 두 함수의 차 입니다 이는 이 위 함수 빼기 아래 함수입니다 따라서 여기 이 값은 -x^2 +6x -1 그리고 -4 빼기 아래 함수입니다 따라서 이를 간단히 하면 -x^2 + 6x - 5입니다 따라서 여기 이 작은 부분의 부피를 구하면 x 곱하기 이 값입니다 그리고 이 값 곱하기 무한히 작은 무한히 작은 깊이인 dx입니다 따라서 x = 1부터 x = 5까지 적분합니다 해봅시다 여기 이 작은 조각의 부피는 가로 이는 x^2 -6x - 5 곱하기 세로인 x 곱하기 깊이인 dx입니다 그리고 이 모든 값을 더합니다 따라서 이 문제는 혹은 여기 값은 여기 이 단면과 같습니다 x가 더 큽니다 세로가 x이며 다음과 같습니다 따라서 두 개의 단면을 그리면 방법이 떠오르죠 따라서 이는 이는 주어진 x에 대한 단면입니다 하지만 적분을 해야합니다 x는 1부터 5까지 x = 1부터 x = 5까지입니다 이제 풀 수 있습니다 입체의 부피를 구하는 정적분을 구했습니다 그리고 이는 정적분이며 x를 분배하면 모든 항에 x를 곱하면 풀 수 있습니다 여기선 계산기 없이 풀 수 있습니다 다항식을 여기서 구하고 정적분을 구하기 위해 부정적분을 해야 합니다