부분 적분법: ∫x²⋅𝑒ˣdx

x²e^x의 역도함수를 구할 수 있는지 알아봅시다 이 문제의 핵심은 부분적분이 이용되는 상황을 이해하는 데 있습니다 영상 제목에 부분적분이 들어가 있어 당연하게 느껴질 수도 있지만 식의 형태로 보았을 때 x²과 e^x이라는 두 함수의 곱으로 이루어져 있어서 부분적분을 이용하면 편리합니다 부분적분은 하나의 함수가 간단한 형태의 도함수를 가지고 다른 함수의 역도함수 역시 그 형태가 복잡하지 않을 때 사용할 수 있는데 이 식의 경우 x²의 도함수는 2x로 함수의 형태가 간단해지고 e^x의 역도함수를 취하더라도 그 형태가 더 복잡해지지 않습니다 그렇다면 f(x)를 x²이라 두겠습니다 f(x)는 도함수를 취했을 때 간단해지는 함수로 둡니다 이후 부분적분 과정 중 f(x)를 미분한 f'(x)를 이용해야 하기 때문입니다 g'(x)는 e^x이라 두겠습니다 부분적분을 할 때 g'(x)의 역도함수를 이용하는데 g'(x)는 적분해도 여전히 e^x입니다 정리해서 써보면 f(x)=x²이고 f(x)=x²이고 f'(x)=2x입니다 아직은 적분상수 C를 고려하지 않겠습니다 역도함수를 구한 후에 역도함수 뒤에 C를 일괄적으로 더하려고 합니다 g'(x)=e^x이고 적분한 역도함수 역시 g(x)=e^x입니다 이제 위 식의 좌변에 대입할 차례입니다 우리가 구하고자 하는 ∫x²e^x dx는 먼저 f(x)=x² g(x)=e^x을 대입하여 f(x)g(x)의 자리에 x²e^x을 쓰고 위의 식과 동일하게 색깔을 맞추어 f'(x)의 자리에는 2x g(x)의 자리에는 e^x을 대입한 ∫2xe^x dx를 빼줍니다 ∫2xe^x dx를 빼줍니다 ∫2xe^x dx를 빼줍니다 적분을 했음에도 좌변에 또 하나의 역도함수가 생겼는데 이를 어떻게 해결해야 하는지에 대한 의문이 듭니다 예상하신 분들도 있겠지만 다시 한 번 부정적분을 해야 합니다 하지만 처음 식보다는 적분해야 하는 함수의 형태가 x²에서 2x로 굉장히 간단해졌습니다 한 단계 더 간단하게 만들기 위해서는 2가 단순히 스칼라 즉 함수에 곱해진 상수이기 때문에 ∫ 기호 밖으로 뺄 수 있습니다 상수 2를 ∫ 밖으로 빼서 다시 써보겠습니다 다시 한 번 말하지만 ∫ 앞으로 옮겨 곱해도 적분결과가 같은 것은 함수에 곱해진 상수 뿐입니다 이제 우리가 해결해야 할 과제는 이제 우리가 해결해야 할 과제는 xe^x의 부정적분입니다 이는 또 다시 부분적분으로 해결해야 할 문제로 xe^x을 f(x)와 g'(x)로 나누어 부분적분 해보겠습니다 미분했을 때 그 도함수의 형태가 더 간단해지는 부분은 어디일까요? x를 미분한 도함수는 1로 매우 간단하기 때문에 f(x)=x라고 정의하겠습니다 앞서 했던 적분과 동일하게 g'(x)=e^x이라 정의하겠습니다 정리해서 써보면 f(x)=x f'(x)=1 g'(x)=e^x e^x의 역도함수는 그대로 e^x이므로 g(x) = e^x입니다 다시 한 번 f(x)g(x)-∫f'(x)g(x) dx 을 이용하여 부정적분해 봅시다 f(x) 자리에는 x f(x) 자리에는 x g(x) 자리에는 e^x을 대입하고 f'(x)=1, g(x)=e^x을 대입하여 xe^x에서 ∫1×e^x dx를 빼줍니다 잊지 말아야 할 것은 우리가 현재 부분적분하고 있는 함수는 xe^x으로 전체 역도함수의 뒷부분입니다 ∫xe^x dx를 구하여 위의 적분식에 대입하면 최종적인 부분적분이 완성됩니다 부분적분의 매력이 조금 느껴지지 않나요 ∫1×e^x dx를 간단히 하면 어떻게 될까요? ∫1×e^x dx를 간단히 하면 어떻게 될까요? 다르게 말해 1×e^x을 적분하면 어떻게 될까요? 이는 결국 e^x을 적분하는 것과 같고 e^x을 적분하면 e^x이기 때문에 xe^x-e^x이라고 xe^x-e^x이라고 정리할 수 있습니다 이제 역으로 ∫xe^x dx의 자리에 xe^x-e^x을 대입하여 xe^x-e^x을 대입하여 처음 알아내고자 했던 x²e^x의 역도함수의 해답을 찾겠습니다 정답에 굉장히 근접해 가고 있는데 구분을 위해 다른색을 사용하여 적분결과를 정리해 보면 x²e^x에서 ∫xe^x dx의 자리에 (xe^x-e^x)을 대입한 후 2를 곱한 값을 빼주어 x²e^x-2(xe^x-e^x)입니다 x²e^x-2(xe^x-e^x)입니다 지금이 C를 더하기 적절한 타이밍인 것 같습니다 최종적으로 간단히하면 적분결과는 x²e^x에서 2xe^x을 빼고 2e^x과 C를 더한 x²e^x-2xe^x+2e^x+C입니다 x²e^x-2xe^x+2e^x+C입니다 처음에는 많이 복잡해보이던 함수를 2번의 부분적분을 거쳐 결국 해결해냈습니다