부분 적분법: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx

이번 시간에는 부분적분법에 대해 알아보겠습니다 부분적분법으로 (e^x)(cos x)의 원시함수를 구해봅시다 부분적분을 하려면 우선 주어진 함수들을 두 개로 나눠서 생각해보죠 보통은 미분하기 쉬운 것을 f(x)로, 적분하기 쉬운 것은 g'(x)로 생각하면 쉽게 풀리는데요 이 문제에서는 미분하면 두 함수 모두 간단하게 할 수 있지만 적분하기에는 간단한 형태는 아닌 것 같네요 두 함수 모두 적분했을 땐 매우 복잡한 형태입니다 두 함수의 원시함수를 구해야 한다면 말이죠 따라서 이와 같은 경우엔, 각각 어느 함수를 f(x) 혹은 g'(x)로 정해야 할지 확실하지 않겠네요 그러니까 반대의 경우로도 똑같이 답을 구할 수 있다는 거죠 따라서 저는 이 순서로 지정할게요 f(x)를 e^x로 정하고 g'(x)를 cos x로 지정하겠습니다 헷갈리지 않도록 칠판에도 적어볼게요 f(x)=e^x f'(x)=e^x 왜냐하면 e^x는 미분해도 e^x이기 때문입니다 앞서 말한 대로 g'(x)=cos x g'(x)의 원시함수인 g(x)는 즉, cos x의 원시함수 g(x)는 sin x입니다 이제 부분적분을 적용시켜 볼까요? 이것은 다음의 식과 같습니다 f(x) 곱하기 g(x) 즉, (e^x)(sin x) - {f'(x)g(x)의 부정적분} f'(x)는 e^x이므로 (e^x)에, g(x)인 sin x를 곱하면 됩니다 이렇게 보니까 원하는 답을 구하기엔 아직 멀었네요 이번에는 sin x 를 포함한 부정적분이 하나 더 생겼네요 이 부정적분을 다시 풀어보겠습니다 다른 공간에 다시 적어볼게요 이번엔 삼각함수 값이 다른 원시함수(부정적분)를 구해봅시다 (e^x)(sin x)의 원시함수는 어떤 방법으로 구할 수 있을까요? 사실 위의 방식과 동일하게 f(x)를 e^x로 설정하면 됩니다 따라서, 다음과 같이 설정해봅시다 위의 방법과 완벽하게 똑같습니다 f(x)=e^x f'(x)는, e^x는 미분해도 같은 값이므로 f'(x)=e^x g'(x)=sin x g(x)= - cos x cos x를 미분하면 - sin x 이므로 - cos x를 미분하면 sin x 입니다 따라서 다시 부분적분법을 적용하겠습니다 f(x)g(x) 마이너스 부호를 앞에 쓰면 - (e^x)(cos x) - {f'(x)g(x)의 부정적분} f'(x)=e^x g(x)= - cos x cos x를 여기에 적고 마이너스 부호는 적분 부호 앞으로 옮기면 이미 마이너스가 있으므로 마이너스의 마이너스는, 플러스입니다 적분을 할 땐, 반드시 마지막에 dx를 적는 것도 빼먹지 마세요 여기까지 보면, 아무것도 해결하지 못한 것처럼 보일 지도 모르겠네요 여기를 보면 이 적분이 우리가 문제를 풀었을 때의 처음 적분값과 같다는 걸 알 수 있습니다 이 적분이 우리가 문제를 풀었을 때의 처음 적분값과 같다는 걸 알 수 있습니다 다시 원점으로 돌아온 것 같지만 사실 여기서부터가 상당히 흥미롭습니다 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하겠습니다 그럼 여기서 어느 부분이 흥미로운지 볼까요 원래의 적분식을 왼쪽에 적어볼게요 (e^x)(cos x)의 부정적분 혹은 원시함수는 다음과 같습니다 (e^x)(cos x)의 부정적분 혹은 원시함수는 다음과 같습니다 (e^x)(sin x) - [나머지] 나머지 이 값들을 빼야 합니다 -{-(e^x)(cos x)} 는 플러스가 되겠네요 따라서 +(e^x)(cos x) 입니다 그리고 나머지 역시 빼야 합니다 따라서 남은 부분을 빼겠습니다 - {(e^x)(cos x)의 부정적분} 입니다 이제 흥미로운 부분이 보이시나요? 여기서 우리가 한 것들을 다시 되짚어보면, 전혀 다른 부정적분식을 부분적분법을 사용해서 원래의 부정적분식과 동일한 형태로 바꾸기 위해서 구한 값을 다시 대입했고 대입한 값을 전체 식에서 뺀 것입니다 전체 식에서 대입한 값을 뺄 때, 이러한 과정을 통해 구했습니다 여기서 흥미로운 점은 원래의 식과 완벽하게 동일한 형태의 식을 두 번 사용했다는 것입니다 물론 이것들을 같은 변수로 지정해서 그 값을 구할 수 있겠죠 따라서 양변에 이 값을 더해봅시다 암산으로 하지 않고 적으면서 해볼게요 (e^x)(cos x)의 적분식을 양변에 더해봅시다 int(e^x)(cos x)dx 그 결과 이러한 식이 도출됩니다 왼쪽식에서 우리가 구하고자 했던 원래의 적분식의 두 배가 나오는 것을 알 수 있습니다 2 int(e^x)(cos x)dx는 다음과 같습니다 이 부분을 복사해서 붙일게요 마지막 이 부분은 없어지네요 드디어 우리가 구하고자 했던 값이 나옵니다 (e^x)(cos x)의 부정적분은 다음과 같습니다 이제 남은 것은 양변을 2로 나누는 것이네요 왼쪽의 식을 2로 나누게 되면 원래의 적분식만이 남습니다 (e^x)(cos x)의 원시함수는 오른쪽 식과 반드시 같습니다 {(e^x)(sin x)+(e^x)(cos x)}/2 그리고 여기서 반드시 까먹지 말아야 할 것은 원래의 값은 반드시 하나가 아니라는 것입니다 이것은 우리가 문제를 풀 때마다 항상 기억해야하는 부분이죠 부분적분을 두번이나 하고 식을 대입하는 등, 아무리 열심히 문제를 풀었다고 해도 끝까지 주의깊게 살펴보지 않는다면 문제를 완벽하게 풀지 못한 것입니다 우리는 이 부분에서 상수가 반드시 있어야 한다는 것을 절대 까먹지 말아야 합니다 따라서 여기까지 유도식을 도출해낼 수 있다면 상수값이 무엇이든 간에 이와 같은 값을 도출하게 될 것입니다 드디어 꽤 깔끔해진 식이 나왔네요