์ฃผ์ ๋ด์ฉ
์ฝ์ค: ๋ฏธ์ ๋ถย >ย ๋จ์ 3
๋จ์ 3: ์นํ์ ๋ถ๋ฒ(2)๐ถ๋ก ์นํ: ์ง์ ํจ์์ ์ ์ ๋ถ
0๋ถํฐ 1๊น์ง x²⋅2^(x³)์ ์ ์ ๋ถ์ ๊ตฌํด๋ณด์ธ์. ๋ง๋ ์ด: ์ด๋ง ์นธ ์ ์๋
๋ํ์ ์ฐธ์ฌํ๊ณ ์ถ์ผ์ ๊ฐ์?
ํฌ์คํธ๊ฐ ์์ง ์์ต๋๋ค.
๋์์ ๋๋ณธ
0๋ถํฐ 1๊น์ง xยฒ ๊ณฑํ๊ธฐ 2์ xยณ์ ๊ณฑ์ ์ ์ ๋ถ ๊ฐ์ ๊ณ์ฐํด๋ด
์๋ค ํญ์ ๋งํ์ง๋ง ์์์ ๋ฉ์ถ๊ณ ์ค์ค๋ก ํ์ด๋ณด๋ ๊ฒ์ ์ถ์ฒํฉ๋๋ค ์์ ๋ณด๋ฉด ๋ช ๊ฐ์ง ํน์ดํ ์ ์ด ์๋๋ฐ ์์ ๋ณด๋ฉด ๋ช ๊ฐ์ง ํน์ดํ ์ ์ด ์๋๋ฐ ๋ฐ์ e๋ก ๊ฐ์ง๋ x์ ๋ํ ์ง์ํจ์์ ๋ฏธ์ ๋ถ์ ์ต์ํ์ง๋ง ๋ค๋ฅธ ๋ฐ์ ์ง์ํจ์์ ๋ฏธ์ ๋ถ์ ์ฒ์์
๋๋ค โซeโฟdn = eโฟ+C ๋ผ๋ ๊ฒ์ ์๊ณ ์์ต๋๋ค ๋ผ๋ ๊ฒ์ ์๊ณ ์์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ์ฃผ์ด์งย ์์ ๊ฒฝ์ฐ "e๊ฐ ์๋ ๋ฐ์ x์ ๋ํ
์ง์์์ด ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์" ๋ฐ์ ๋ณํํ๋ฉด ํธํ ๊ฒ ๊ฐ์ต๋๋ค ์ด๋ป๊ฒ ๋ฐ์ ๋ณํํ ์ ์์๊น์? 2๋ฅผ e์ ๋ํด ๋ํ๋ด๋ฉด ๋ฉ๋๋ค 2๋ e์ ๋ํด ์ด๋ค ํํ์ผ๊น์ e์ ๋ช ์ ๊ณฑ์ ํด์ผ 2๊ฐ ๋๋์ง e์ ๋ช ์ ๊ณฑ์ ํด์ผ 2๊ฐ ๋๋์ง ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด ์๊ฐํด๋ณด๋ฉด ๋ฐ๋ก ln2์
๋๋ค ์ฆ e์ ์ง์์ ln2๋ฅผ ์ฝ์
ํด์ผ ์ ์ฒด๊ฐ์ด 2๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์์ผ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด e^ln2=2 ์
๋๋ค 2์ xยณ์ ๊ณฑ์ ์ด๋ป๊ฒ e๋ก ๋ํ๋ผ๊น์ e^ln2=2์ ์๋ณ์ xยณ์ ๊ณฑํ๋ฉด e^ln2=2์ ์๋ณ์ xยณ์ ๊ณฑํ๋ฉด 2์ xยณ์ ๊ณฑ์ e์ xยณln2์ ๊ฐ๋ค๋ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ต๋๋ค ์ฆ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด 2^xยณ = e^(xยณln2) ์
๋๋ค ์์ ํํ๊ฐ ์ ๋ง ํฅ๋ฏธ๋กญ์ต๋๋ค ์์ ๋ค์ ์จ๋ณด๊ณ ๋ถ์ ์ ๋ถ์๋ง ์ง์คํด์ ์์ด ์ ๋ถ ๊ฐ๋ฅํ์ง ์์๋ด
์๋ค ๋ถ์ ์ ๋ถ์ 0๊ณผ1์ ๋์
ํ๋ฉด ์ ์ ๋ถ์ ์ฝ๊ฒ ๊ตฌํด์ง๊ธฐ ๋๋ฌธ์ด์ฃ ๋ถ์ ์ ๋ถ โซ xยฒ2^xยณ dx ๋ถ์ ์ ๋ถ โซ xยฒ2^xยณ dx ์ ๋ํด ์๊ฐํด๋ด
์๋ค ์์ ์ญ๋ํจ์๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค 2^xยณ์ ์๋ฆฌ์ ์์ ๋ณํํ์ฌ ๊ตฌํ๋ e^(xยณln2)๋ฅผ ๊ทธ๋๋ก ๋์
ํฉ๋๋ค ์์ ์ ๋ฆฌํด๋ณด๋ฉด 2^xยณ = e^(xยณln2) ๋ผ๋ ๊ฒ์ 2^xยณ = e^(xยณln2) ๋ผ๋ ๊ฒ์ ์์ ์ฆ๋ช
๋์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๊ทธ๋๋ก ๋ถ์ฌ๋ฃ๊ณ ์ ๋ถ์์ dx๋ก ๋ซ์์ค๋๋ค e๋ฅผ ๋ฐ์ผ๋ก ๊ฐ์ง๋ ์์ผ๋ก ๋ณํํด ๊ณ์ฐ์ด ์กฐ๊ธ ์์ํด์ก์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ์ฌ์ ํ ๋ณต์กํฉ๋๋ค ์ด๋ ์นํ์ ๋ถ์ ์ด์ฉํด ๋ด
์๋ค ์ด๋ ์นํ์ ๋ถ์ ์ด์ฉํด ๋ด
์๋ค e^(xยณln2)๋ผ๋ ๋ณต์กํ ์ง์๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ e^(xยณln2)๋ผ๋ ๋ณต์กํ ์ง์๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ ํญ์ ๋ฏธ๋ถํ๋ฉด 3xยฒ์ด ๋ฉ๋๋ค 3xยฒ์ด ๋ฉ๋๋ค ์ฆ ์์ํญ์ xยฒ์ ๊ณฑํ ๊ฒ์
๋๋ค ์์ xยฒ์ด ์ด๋ฏธ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ ๋นํ ๋ณํํ์ฌ ์นํ ์ ๋ถํ ์ ์์ต๋๋ค xยณln2๋ฅผ u๋ผ๊ณ ํ ๋ xยณln2๋ฅผ u๋ผ๊ณ ํ ๋ du๋ ์ด๋ป๊ฒ ๋ ๊น์ ln2๋ ์์์ด๋ฏ๋ก du=3xยฒln2๊ฐ ๋ฉ๋๋ค du=3xยฒln2๊ฐ ๋ฉ๋๋ค xยฒ์ ์์ผ๋ก ๋นผ์ ๊ณฑํ๋ ์์๋ง ๋ฐ๊พธ๋ฉด du=xยฒ3ln2 ์
๋๋ค du=xยฒ3ln2 ์
๋๋ค ๋ก๊ทธ๋ฒ์น์ ์ํด 3ln2=ln2ยณ ์ด๊ณ ln2ยณ์ ln8๊ณผ ๊ฐ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ๊ฒฐ๊ตญ du=xยฒln8 ์
๋๋ค ๊ฒฐ๊ตญ du=xยฒln8 ์
๋๋ค u=xยณln2์ผ ๋
์ ๋ถ์์์ du๋ฅผ ์ฐพ์๋ณผ๊น์ x์ ๋ํด ์ ๋ถํ์ผ๋ฏ๋ก dx๋ฅผ ๋ถ์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค ์ ๋ถ์์ du ํํ๋ก ๋ง๋ค์ด ๋ด
์๋ค ๊ณตํต์ ์ผ๋ก dx๋ฅผ ๊ฐ์ง๊ณ xยฒ๋ ๊ฐ์ง๋๋ค ln8๋ง ์ถ๊ฐ์ ์ผ๋ก ๊ณฑํ๋ฉด du์ ๊ฐ์ ํํ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์ด์์ ์ธ ์นํ์ ๋ถ์ ์ํด ์์ ln8์ ๊ณฑํด์ฃผ๊ณ ๋ค์ ln8๋ก ๋๋ ์ค๋๋ค ๊ณฑํ๋ค๊ฐ ๋๋ด์ผ๋ฏ๋ก ๊ฐ์๋ ์ํฅ์ ์ฃผ์ง ์์ฃ ๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก ๊ณฑํ๋ค๊ฐ ๋๋ ์ค๋๋ค ํ์ง๋ง ํจ์์ ์์ ๋ฐฐ์ ์ ๋ถ์ ํจ์์ ์ ๋ถ์ ์์๋ฅผ ๊ณฑํ ๊ฒ๊ณผ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก ์์ ๋๋ด๋ ln8์ โซ ์์ผ๋ก ๋นผ์ ๊ณฑํด์ค๋๋ค ์ฆ 1/ln8 โซ ln8xยฒe^(xยณln2)dx ์
๋๋ค ์์ u์ du์ ํํ๋ก ์จ๋ด
์๋ค 1/ln8 ๊ณฑํ๊ธฐ โซ e์ u์ ๊ณฑ์ du= ln8 ร xยฒ ร dx ์ด๋ฏ๋ก ์ ๋ฆฌํ๋ฉด 1/ln8 โซ e^u du ์
๋๋ค ์ด ์ ๋ถ์ ์ฐ๋ฆฌ๊ฐ ์๋ ๋จ์ํ ์ ๋ถ์ผ๋ก โซ e^x dx = e^x ์ ๋ฐ๋ผ 1/ln8 e^u ์
๋๋ค 1/ln8 e^u ์
๋๋ค ๋ถ์ ์ ๋ถ์ ๋ค๋ฃจ๊ณ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ ๋ถ ์์ C๋ฅผ ์์ด์๋ ์ ๋ฉ๋๋ค ๋ค์ ์นํํ๋ u์ ์๋ฆฌ์ xยณln2๋ฅผ ๋์
ํ๋ฉด 1/ln8 ๊ณฑํ๊ธฐ e^(xยณln2)์ด๋ฏ๋ก ์ ๋ฆฌํ๋ฉด 1/ln8 e^(xยณln2) +C ์
๋๋ค 1/ln8 e^(xยณln2) +C ์
๋๋ค ์ฒ์ ์ฃผ์ด์ง ๋ฌธ์ ๋ก ๋์๊ฐ ๋ด
์๋ค ์ด์ ์ ๋ถ ๊ฒฐ๊ณผ์ ์ ๋์ ์ซ์๋ฅผ ๋์
ํด์ฃผ๊ธฐ๋ง ํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค ์ ๋ฆฌํ ์์ ๋ค์ ์จ๋ด
์๋ค ์ ์ ๋ถ์ ๊ณ์ฐํ๋ฉด ์ ๋ถ๊ฒฐ๊ณผ 1/ln8 e^(xยณln2) ์ x=1 ๋์
๊ฐ์์ x=0 ๋์
๊ฐ์ ๋บ๋๋ค C๋ ๊ณ์ฐ๊ณผ์ ์์ ์๊ฑฐ๋๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ๊ณ ๋ คํ์ง ์์๋ ๋ฉ๋๋ค ๋จผ์ ๋ถ์ ์ ๋ถ ๊ฒฐ๊ณผ์ x=1์ ๋์
ํด ๋ด
์๋ค x์๋ฆฌ์ 1์ ๋์
๋ฉด e์ ์ง์๋ 1ยณ ร ln2๋ก 1/ln8 e^ln2 ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค 1/ln8 e^ln2 ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์์์ x=0 ๋์
๊ฐ์ ๋นผ์ ๊ตฌํฉ๋๋ค x์๋ฆฌ์ 0์ ๋์
ํ๋ฉด e์ ์ง์ ์ ์ฒด๊ฐ 0์ด ๋๊ณ e์ 0์ ๊ณฑ์ 1์ด๋ฏ๋ก x=0 ๋์
๊ฐ์ 1/ln8์
๋๋ค ์์ ๊ตฌํ๋ฏ e์ ln2์ ๊ณฑ์ 2์ด๋ฏ๋ก 2/ln8-1/ln8๋ง ๋จ์ 2/ln8-1/ln8๋ง ๋จ์ ๊ณ์ฐํ๋ฉด 1/ln8์
๋๋ค ์ด๋ก์จ ๋๋์ด ๋ต์ ๊ตฌํ์ต๋๋ค