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μ›Ή ν•„ν„°κ°€ μ˜¬λ°”λ₯΄κ²Œ μž‘λ™ν•˜μ§€ μ•ŠμœΌλ©΄ 도메인 *. kastatic.orgκ³Ό *.kasandbox.org이 μ°¨λ‹¨λ˜μ–΄ μžˆλŠ”μ§€ ν™•μΈν•˜μ„Έμš”.

μ£Όμš” λ‚΄μš©

𝘢둜 μΉ˜ν™˜: μ§€μˆ˜ ν•¨μˆ˜μ˜ 정적뢄

0λΆ€ν„° 1κΉŒμ§€ x²⋅2^(x³)의 정적뢄을 κ΅¬ν•΄λ³΄μ„Έμš”. λ§Œλ“  이: μ‚΄λ§Œ μΉΈ μ„ μƒλ‹˜

λ™μ˜μƒ λŒ€λ³Έ

0λΆ€ν„° 1κΉŒμ§€ xΒ² κ³±ν•˜κΈ° 2의 x³제곱의 정적뢄 값을 κ³„μ‚°ν•΄λ΄…μ‹œλ‹€ 항상 λ§ν•˜μ§€λ§Œ μ˜μƒμ„ λ©ˆμΆ”κ³  슀슀둜 ν’€μ–΄λ³΄λŠ” 것을 μΆ”μ²œν•©λ‹ˆλ‹€ 식을 보면 λͺ‡ 가지 νŠΉμ΄ν•œ 점이 μžˆλŠ”λ° 식을 보면 λͺ‡ 가지 νŠΉμ΄ν•œ 점이 μžˆλŠ”λ° 밑을 e둜 κ°€μ§€λŠ” x에 λŒ€ν•œ μ§€μˆ˜ν•¨μˆ˜μ˜ 미적뢄은 μ΅μˆ™ν•˜μ§€λ§Œ λ‹€λ₯Έ λ°‘μ˜ μ§€μˆ˜ν•¨μˆ˜μ˜ 미적뢄은 μ²˜μŒμž…λ‹ˆλ‹€ ∫eⁿdn = eⁿ+C λΌλŠ” 것은 μ•Œκ³  μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ λΌλŠ” 것은 μ•Œκ³  μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ ν•˜μ§€λ§Œ 주어진  μ‹μ˜ 경우 "eκ°€ μ•„λ‹Œ 밑에 x에 λŒ€ν•œ μ§€μˆ˜μ‹μ΄ 있기 λ•Œλ¬Έμ—" 밑을 λ³€ν™˜ν•˜λ©΄ νŽΈν•  것 κ°™μŠ΅λ‹ˆλ‹€ μ–΄λ–»κ²Œ 밑을 λ³€ν˜•ν•  수 μžˆμ„κΉŒμš”? 2λ₯Ό e에 λŒ€ν•΄ λ‚˜νƒ€λ‚΄λ©΄ λ©λ‹ˆλ‹€ 2λŠ” e에 λŒ€ν•΄ μ–΄λ–€ ν˜•νƒœμΌκΉŒμš” e의 λͺ‡ μ œκ³±μ„ ν•΄μ•Ό 2κ°€ λ˜λŠ”μ§€ e의 λͺ‡ μ œκ³±μ„ ν•΄μ•Ό 2κ°€ λ˜λŠ”μ§€ 생각해보면 생각해보면 λ°”λ‘œ ln2μž…λ‹ˆλ‹€ 즉 e의 μ§€μˆ˜μ— ln2λ₯Ό μ‚½μž…ν•΄μ•Ό 전체값이 2κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ μ‹μœΌλ‘œ λ‚˜νƒ€λ‚΄λ©΄ e^ln2=2 μž…λ‹ˆλ‹€ 2의 xΒ³μ œκ³±μ€ μ–΄λ–»κ²Œ e둜 λ‚˜νƒ€λ‚ΌκΉŒμš” e^ln2=2의 양변을 xΒ³μ œκ³±ν•˜λ©΄ e^ln2=2의 양변을 xΒ³μ œκ³±ν•˜λ©΄ 2의 xΒ³μ œκ³±μ€ e의 xΒ³ln2와 κ°™λ‹€λŠ” κ²°κ³Όκ°€ λ‚˜μ˜΅λ‹ˆλ‹€ 즉 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ 2^xΒ³ = e^(xΒ³ln2) μž…λ‹ˆλ‹€ μ‹μ˜ ν˜•νƒœκ°€ 정말 ν₯λ―Έλ‘­μŠ΅λ‹ˆλ‹€ 식을 λ‹€μ‹œ 써보고 λΆ€μ •μ λΆ„μ—λ§Œ μ§‘μ€‘ν•΄μ„œ 식이 적뢄 κ°€λŠ₯ν•œμ§€ μ•Œμ•„λ΄…μ‹œλ‹€ 뢀정적뢄에 0κ³Ό1을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄ 정적뢄은 μ‰½κ²Œ ꡬ해지기 λ•Œλ¬Έμ΄μ£  뢀정적뢄 ∫ xΒ²2^xΒ³ dx 뢀정적뢄 ∫ xΒ²2^xΒ³ dx 에 λŒ€ν•΄ μƒκ°ν•΄λ΄…μ‹œλ‹€ μ‹μ˜ μ—­λ„ν•¨μˆ˜λ₯Ό ꡬ해야 ν•©λ‹ˆλ‹€ 2^x³의 μžλ¦¬μ— μ•žμ„œ λ³€ν˜•ν•˜μ—¬ κ΅¬ν–ˆλ˜ e^(xΒ³ln2)λ₯Ό κ·ΈλŒ€λ‘œ λŒ€μž…ν•©λ‹ˆλ‹€ 식을 정리해보면 2^xΒ³ = e^(xΒ³ln2) λΌλŠ” 것은 2^xΒ³ = e^(xΒ³ln2) λΌλŠ” 것은 μ•žμ„œ 증λͺ…λ˜μ—ˆκΈ° λ•Œλ¬Έμ— κ²°κ³Όλ₯Ό κ·ΈλŒ€λ‘œ λΆ™μ—¬λ„£κ³  적뢄식을 dx둜 λ‹«μ•„μ€λ‹ˆλ‹€ eλ₯Ό λ°‘μœΌλ‘œ κ°€μ§€λŠ” μ‹μœΌλ‘œ λ³€ν˜•ν•΄ 계산이 쑰금 μˆ˜μ›”ν•΄μ‘ŒμŠ΅λ‹ˆλ‹€ ν•˜μ§€λ§Œ μ—¬μ „νžˆ λ³΅μž‘ν•©λ‹ˆλ‹€ μ΄λ•Œ μΉ˜ν™˜μ λΆ„μ„ μ΄μš©ν•΄ λ΄…μ‹œλ‹€ μ΄λ•Œ μΉ˜ν™˜μ λΆ„μ„ μ΄μš©ν•΄ λ΄…μ‹œλ‹€ e^(xΒ³ln2)λΌλŠ” λ³΅μž‘ν•œ μ§€μˆ˜λ₯Ό κ°€μ§€λŠ” e^(xΒ³ln2)λΌλŠ” λ³΅μž‘ν•œ μ§€μˆ˜λ₯Ό κ°€μ§€λŠ” 항을 λ―ΈλΆ„ν•˜λ©΄ 3x²이 λ©λ‹ˆλ‹€ 3x²이 λ©λ‹ˆλ‹€ 즉 μƒμˆ˜ν•­μ— x²을 κ³±ν•œ κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€ μ•žμ— x²이 이미 있기 λ•Œλ¬Έμ— μ λ‹Ήνžˆ λ³€ν˜•ν•˜μ—¬ μΉ˜ν™˜ 적뢄할 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€ xΒ³ln2λ₯Ό u라고 ν•  λ•Œ xΒ³ln2λ₯Ό u라고 ν•  λ•Œ duλŠ” μ–΄λ–»κ²Œ λ κΉŒμš” ln2λŠ” μƒμˆ˜μ΄λ―€λ‘œ du=3xΒ²ln2κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ du=3xΒ²ln2κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ x²을 μ•žμœΌλ‘œ λΉΌμ„œ κ³±ν•˜λŠ” μˆœμ„œλ§Œ λ°”κΎΈλ©΄ du=xΒ²3ln2 μž…λ‹ˆλ‹€ du=xΒ²3ln2 μž…λ‹ˆλ‹€ λ‘œκ·Έλ²•μΉ™μ— μ˜ν•΄ 3ln2=ln2Β³ 이고 ln2³은 ln8κ³Ό κ°™κΈ° λ•Œλ¬Έμ— κ²°κ΅­ du=xΒ²ln8 μž…λ‹ˆλ‹€ κ²°κ΅­ du=xΒ²ln8 μž…λ‹ˆλ‹€ u=xΒ³ln2일 λ•Œ μ λΆ„μ‹μ—μ„œ duλ₯Ό μ°Ύμ•„λ³ΌκΉŒμš” x에 λŒ€ν•΄ μ λΆ„ν–ˆμœΌλ―€λ‘œ dxλ₯Ό λΆ™μ—¬μ•Ό ν•©λ‹ˆλ‹€ 적뢄식을 du ν˜•νƒœλ‘œ λ§Œλ“€μ–΄ λ΄…μ‹œλ‹€ κ³΅ν†΅μ μœΌλ‘œ dxλ₯Ό 가지고 x²도 κ°€μ§‘λ‹ˆλ‹€ ln8만 μΆ”κ°€μ μœΌλ‘œ κ³±ν•˜λ©΄ du와 같은 ν˜•νƒœκ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ 이상적인 μΉ˜ν™˜μ λΆ„μ„ μœ„ν•΄ μ•žμ— ln8을 κ³±ν•΄μ£Όκ³  λ‹€μ‹œ ln8둜 λ‚˜λˆ μ€λ‹ˆλ‹€ κ³±ν–ˆλ‹€κ°€ λ‚˜λˆ΄μœΌλ―€λ‘œ κ°’μ—λŠ” 영ν–₯을 주지 μ•Šμ£  κ·ΈλŸ¬λ―€λ‘œ κ³±ν–ˆλ‹€κ°€ λ‚˜λˆ μ€λ‹ˆλ‹€ ν•˜μ§€λ§Œ ν•¨μˆ˜μ˜ μƒμˆ˜ 배의 적뢄은 ν•¨μˆ˜μ˜ 적뢄에 μƒμˆ˜λ₯Ό κ³±ν•œ 것과 κ°™μœΌλ―€λ‘œ μ•žμ„œ λ‚˜λˆ΄λ˜ ln8을 ∫ μ•žμœΌλ‘œ λΉΌμ„œ κ³±ν•΄μ€λ‹ˆλ‹€ 즉 1/ln8 ∫ ln8xΒ²e^(xΒ³ln2)dx μž…λ‹ˆλ‹€ 식을 u와 du의 ν˜•νƒœλ‘œ μ¨λ΄…μ‹œλ‹€ 1/ln8 κ³±ν•˜κΈ° ∫ e의 uμ œκ³±μ— du= ln8 Γ— xΒ² Γ— dx μ΄λ―€λ‘œ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ 1/ln8 ∫ e^u du μž…λ‹ˆλ‹€ 이 적뢄은 μš°λ¦¬κ°€ μ•„λŠ” λ‹¨μˆœν•œ μ λΆ„μœΌλ‘œ ∫ e^x dx = e^x 에 따라 1/ln8 e^u μž…λ‹ˆλ‹€ 1/ln8 e^u μž…λ‹ˆλ‹€ 뢀정적뢄을 닀루고 있기 λ•Œλ¬Έμ— 적뢄 μƒμˆ˜ Cλ₯Ό μžŠμ–΄μ„œλŠ” μ•ˆ λ©λ‹ˆλ‹€ λ‹€μ‹œ μΉ˜ν™˜ν–ˆλ˜ u의 μžλ¦¬μ— xΒ³ln2λ₯Ό λŒ€μž…ν•˜λ©΄ 1/ln8 κ³±ν•˜κΈ° e^(xΒ³ln2)μ΄λ―€λ‘œ μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ 1/ln8 e^(xΒ³ln2) +C μž…λ‹ˆλ‹€ 1/ln8 e^(xΒ³ln2) +C μž…λ‹ˆλ‹€ 처음 주어진 문제둜 λŒμ•„κ°€ λ΄…μ‹œλ‹€ 이제 적뢄 결과에 μ–‘ 끝의 숫자λ₯Ό λŒ€μž…ν•΄μ£ΌκΈ°λ§Œ ν•˜λ©΄ λ©λ‹ˆλ‹€ μ •λ¦¬ν•œ 식을 λ‹€μ‹œ μ¨λ΄…μ‹œλ‹€ 정적뢄을 κ³„μ‚°ν•˜λ©΄ 적뢄결과 1/ln8 e^(xΒ³ln2) 에 x=1 λŒ€μž…κ°’μ—μ„œ x=0 λŒ€μž…κ°’μ„ λΊλ‹ˆλ‹€ CλŠ” κ³„μ‚°κ³Όμ •μ—μ„œ μ†Œκ±°λ˜κΈ° λ•Œλ¬Έμ— κ³ λ €ν•˜μ§€ μ•Šμ•„λ„ λ©λ‹ˆλ‹€ λ¨Όμ € 뢀정적뢄 결과에 x=1을 λŒ€μž…ν•΄ λ΄…μ‹œλ‹€ xμžλ¦¬μ— 1을 λŒ€μž…λ©΄ e의 μ§€μˆ˜λŠ” 1Β³ Γ— ln2둜 1/ln8 e^ln2 κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ 1/ln8 e^ln2 κ°€ λ©λ‹ˆλ‹€ μ‹μ—μ„œ x=0 λŒ€μž…κ°’μ„ λΉΌμ„œ κ΅¬ν•©λ‹ˆλ‹€ xμžλ¦¬μ— 0을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄ e의 μ§€μˆ˜ 전체가 0이 되고 e의 0μ œκ³±μ€ 1μ΄λ―€λ‘œ x=0 λŒ€μž…κ°’μ€ 1/ln8μž…λ‹ˆλ‹€ μ•žμ„œ κ΅¬ν–ˆλ“― e의 ln2μ œκ³±μ€ 2μ΄λ―€λ‘œ 2/ln8-1/ln8만 남아 2/ln8-1/ln8만 남아 κ³„μ‚°ν•˜λ©΄ 1/ln8μž…λ‹ˆλ‹€ 이둜써 λ“œλ””μ–΄ 닡을 κ΅¬ν–ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€