u로 치환: 정적분

이번 시간에는 정적분에서 u를 이용한 치환을 적용하는 연습을 해보려고 합니다 1부터 2까지의 적분이 있습니다 1부터 2까지의 적분이 있습니다 2x(x²+1)³dx 2x(x²+1)³dx u를 이용한 치환을 한다고 미리 얘기했지만 치환을 언제 하는지 인식할 수 있는 것이 재밌는 부분입니다 여기서 은연중에 주어지는 핵심은 (x²+1)³이 있고 (x²+1)³이 있고 x²+1의 도함수도 있다는 것입니다 즉, 2x이죠 따라서 치환할 수 있습니다 따라서 치환할 수 있습니다 u = x² + 1 du/dx = 2x du/dx = 2x 미분 형태로 나타낼 수 있습니다 수학적으로 변형시키는 방법은 양변에 dx를 곱하는 것입니다 따라서 du = 2x dx 입니다 적분의 이 부분은 이렇게 다시 나타낼 수 있습니다 이렇게 다시 나타낼 수 있습니다 나타내 보자면 적분기호가 있고 적분한계를 생각해보죠 u³이 있고 u³이 있고 u³이 있고 이 부분이죠 2x dx가 있습니다 2x dx가 있습니다 원래는 단순히 2x(x²+1)³dx 인데 원래는 단순히 2x(x²+1)³dx 인데 2x dx = du 이므로 2x dx = du 이므로 둘은 du입니다 둘은 du입니다 재밌는 문제를 내보죠 이는 부정적분이 아니므로 이는 부정적분이 아니므로 정적분입니다 그렇다면 적분한계는 어떻게 될까요? 두 가지 접근 방법이 있습니다 하나는 적분한계를 바꾸는 방법입니다 여기서는 x=1, x=2 이지만 u에 대하여 적분하였으므로 적분한계를 유지하는 즉, 정적분을 유지하는 방법은 즉, 정적분을 유지하는 방법은 u=? 에서 u=?로 바꾸는 것입니다 u=? 에서 u=?로 바꾸는 것입니다 적분한계를 구하면 x=1일 때 u는 무엇일까요? x=1일 때 1² + 1 = 2 이므로 여기서는 u=2 입니다 x=2일 때 u는 무엇일까요? 2² = 4이고 4 + 1 = 5 입니다 따라서 u=5 입니다 보통 u=2, u=5 이렇게 나타내지 않죠 2와 5로만 나타냅니다 u에 대하여 적분하고 있으므로 u=2, u=5를 추측할 수 있기 때문이죠 따라서 2부터 5까지의 u³의 적분으로 다시 나타낼 수 있습니다 왜 한계가 바뀌었는지 깨닫는 것이 아주 중요합니다 u에 대하여 적분하고 있고 여기서 한 것은 치환입니다 x=1일 때 u=2이고 x=2일 때 u = 2²+1 = 5 입니다 계산하면 계산하면 u³의 부정적분은 u⁴/4 입니다 2에서 5까지에 대해 계산합니다 5⁴/4 - 2⁴/4 입니다 5⁴/4 - 2⁴/4 입니다 식을 간단하게 나타낼 수 있지만 이 정적분을 그냥 계산하였습니다 다른 방법으로는 다른 방법으로는 x에 대하여 부정적분을 하고 중간에 u를 이용하여 치환하는 것입니다 이렇게 해봅시다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 2x(x²+1)³의 부정적분을 계산합니다 대수적으로 이 식이 어떻게 되든지 대수적으로 이 식이 어떻게 되든지 x=1부터 x=2까지 계산할 것입니다 여기서 u를 이용하여 치환한다면 이렇게 되겠죠 같은 방식으로 치환하여 u³ du 가 됩니다 u³ du 가 됩니다 다시 한번 이 전체 식의 x=2에 대한 값에서 x=1에 대한 값을 뺍니다 x=1에 대한 값을 뺍니다 이를 계산하면 u⁴/4 이 되고 u⁴/4 이 되고 다시 한번 x=2에서 계산한 값에서 x=1에서 계산한 값을 뺍니다 다시 되돌릴 수도 있습니다 보다시피 u=x²+1 이므로 (x²+1)⁴/4 과 같습니다 (x²+1)⁴/4 과 같습니다 x=2와 x=1에서 계산합니다 x=2와 x=1에서 계산합니다 위와 같다는 것을 눈치챘을 것입니다 x=2를 대입하면 2² + 1 = 5이므로 5⁴/4가 됩니다 1² + 1 = 2 2⁴/4도 여기 있습니다 같은 결과를 얻게 되는 다른 방법은 정적분을 구하고 적분한계를 바꾼 다음 u에 대한 식으로 나타내는 한 가지 방법이 있고 다른 방법은 부정적분을 계산하고 중간 단계에서 u를 이용한 치환을 한 뒤 다시 되돌린 다음 기존의 적분한계에서 계산하는 것입니다