์ฃผ์ ๋ด์ฉ
์ฝ์ค: ๋ฏธ์ ๋ถย >ย ๋จ์ 3
๋จ์ 3: ์นํ์ ๋ถ๋ฒ(2)๐ถ์นํ: ์ฌํ
∫(2^ln x)/x dx๋ฅผ ๊ตฌํด ๋ด
์๋ค. ๋ง๋ ์ด: ์ด๋ง ์นธ ์ ์๋
๋ํ์ ์ฐธ์ฌํ๊ณ ์ถ์ผ์ ๊ฐ์?
ํฌ์คํธ๊ฐ ์์ง ์์ต๋๋ค.
๋์์ ๋๋ณธ
์นธ์์นด๋ฐ๋ฏธ์ ๊ฒ์ํ์ ๋ณด๋ ์ค Bud Denny๊ฐ ํ์ด์ค๋ถ ํ์ด์ง์ ๊ฒ์ํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํด๊ฒฐํด๋ฌ๋ผ๋ ๊ธ์ ๋ณด์์ต๋๋ค ๋ชจ๋ ํฅ๋ฏธ๋ก์ํ ๋ฌธ์ ์ผ ๊ฒ ๊ฐ์ต๋๋ค ๋ฌธ์ ๋ โซ(2^lnx)/x dx์
๋๋ค ๋ฌธ์ ๋ โซ(2^lnx)/x dx์
๋๋ค ๋ฉ์์ง ๊ฒ์ํ์ Abhi Kanna๊ฐ ํ์ด๋ฅผ ์ฌ๋ ค์ฃผ์๋๋ฐ ์ฌ๋ฐ๋ฅธ ํ์ด์ง๋ง ๋ง์ด๋ค ๊ถ๊ธํดํ๋ ๋ฌธ์ ์ผ ๊ฒ ๊ฐ์ ์งง์ ์์์ผ๋ก ๋ง๋ค๊ณ ์ ํฉ๋๋ค ๋ถ์์ lnx๊ฐ ์๋ ์ด๋ฐ ํํ์ ์ ๋ถ์ ์ด๋์๋ถํฐ ์์ํด์ผ ํ ๊น์? ๊ฐ์ฅ ๋จผ์ ๋ ์ค๋ฅด๋ ๊ฒ์ โซ(1/x)2^lnx dx์ ๋ค๋ฅผ ๊ฒ์ด ์๋ค๋ ์ฌ์ค์
๋๋ค ๊ธฐ์กด ํจ์์์ ์ผ๋ถ๋ถ์ ๋ผ์ด๋ธ ์๊ณผ ๊ทธ ์์ ๋ํจ์ ์์ด ๊ณฑํด์ ธ ์์ต๋๋ค lnx๋ฅผ x์ ๋ํด ๋ฏธ๋ถํ ๋ํจ์๋ 1/x๊ณผ ๊ฐ๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๋๋ค 1/x๊ณผ ๊ฐ๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๋๋ค ์์ ํํ๋ก ๋ณด์์ ๋ ์ด๋ค ํจ์์๊ณผ ๊ทธ ๋ํจ์ ์์ด ๊ณฑํด์ ธ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์นํ ์ ๋ถ์ ์ด์ฉํ ์ ์์ต๋๋ค ์ง์ ์ฐ๋ฉด์ ์นํํด ๋ด
์๋ค lnx๋ฅผ u๋ผ๊ณ ์นํํ๋ฉด u=lnx์
๋๋ค ๊ด๋ก์ ๋ฐ๋ผ ๋ณ์ u๋ก ์นํํ์ง๋ง ์ด๋ค ๋ณ์๋ก ์นํํด๋ ๋ฌด๋ฐฉํฉ๋๋ค u=lnx๋ผ๋ฉด u๋ฅผ x์ ๋ํด ๋ฏธ๋ถํ du/dx๋ 1/x์
๋๋ค ์กฐ๊ธ ๋ ์ฝ๊ฒ ์ค๋ช
ํ์๋ฉด, du=1/x์ ์๋ณ์ dx๋ก ๋๋๋ค๊ณ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค ์นํํ u๋ฅผ ๋์
ํ์ฌ โซ(1/x)2^lnx dx๋ฅผ ์ ๋ฆฌํด ๋ด
์๋ค โซ(1/x)2^lnx dx๋ฅผ ์ ๋ฆฌํด ๋ด
์๋ค u=lnx์ด๋ฉฐ u=lnx์ด๋ฉฐ 1/x dx๋ du์ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก 1/x dx๋ du์ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก ๋ค๋ฅธ ์์ผ๋ก ์จ๋ณด๋ฉด ๋ค๋ฅธ ์์ผ๋ก ์จ๋ณด๋ฉด โซ2^u du๊ฐ ๋ฉ๋๋ค โซ2^u du๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ๊ฐ๋จํ ์ ๋ฆฌํ์ง๋ง ์ฌ์ ํ ์ ๋ถ์ ํํ๊ฐ ๋ณต์กํฉ๋๋ค ํ์ฌ๊น์ง ์ฐ๋ฆฌ๋ a^x ํํ์ ์ ๋ถ์ ๋ํ ๊ณต์์ ๋ฐฐ์ด ์ ์ด ์์ต๋๋ค ์ฐ๋ฆฌ๊ฐ ๋ฐฐ์ด ์ ์๋ ํํ์ ์ ๋ถ์ e์ x์ ๊ณฑ์ ์ ๋ถ์ผ๋ก e์ x์ ๊ณฑ์ ์ ๋ถ์ผ๋ก ์ฐ๋ฆฌ๋ โซe^x dx=e^x+C๋ผ๋ ๊ณต์์ ์๊ณ ์๋๋ฐ โซ2^u du๋ฅผ ์์ ๊ฐ์ ํํ๋ก ๋ง๋ ๋ค๋ฉด ์กฐ๊ธ ๋ ์ฝ๊ฒ ์ ๋ถํ ์ ์์ ๊ฒ์ผ๋ก ์๊ฐํฉ๋๋ค โซ2^u du๋ผ๋ ์์ ์ด๋ป๊ฒ ๋ํ๋ผ ์ ์์๊น์? ๋จผ์ 2๋ฅผ e์ ๋ํด ๋ํ๋ด๋ณด๋ฉด ๋จผ์ 2๋ฅผ e์ ๋ํด ๋ํ๋ด๋ณด๋ฉด e์ ์ง์์ ln2๊ฐ ์์ผ ํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ e์ ์ง์์ ln2๊ฐ ์์ผ ํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ 2=e^ln2์
๋๋ค 2=e^ln2์
๋๋ค ์ด๋ ์์ฐ๋ก๊ทธ ln์ ์ ์ e^lnx=x์ด๊ธฐ๋ ํฉ๋๋ค ์์ 2=e^ln2๋ฅผ ๋์
ํ์ฌ ์์ 2=e^ln2๋ฅผ ๋์
ํ์ฌ ๋ค์ ์จ๋ณด๋ฉด ๋ค์ ์จ๋ณด๋ฉด 2์ ์๋ฆฌ์ e^ln2๋ฅผ ๋์
ํ๊ณ ์ ์ฒด e^ln2ํญ์ u์ ๊ณฑํฉ๋๋ค ์ ์ฒด e^ln2ํญ์ u์ ๊ณฑํฉ๋๋ค โซ(e^ln2)^u du๋ฅผ ํ ๋ฒ ๋ ์ ๋ฆฌํ๊ณ ์ ์ง์๋ฒ์น ์ค ์ง์์ ๊ณฑ์ ์ง์์ ๊ณฑ์ ๊ฒฐ๊ตญ ๋ ์ง์์ ๊ณฑ์ ์ ๊ณฑ๊ณผ ๊ฐ๋ค๋ (xโฟ)^m=x^(nm)์ ์ํด (e^ln2)^u=e^(ln2รu)์
๋๋ค ๋ฐ๋ผ์ โซ(e^ln2)^u du๋ โซe^(ln2รu) du์ ๊ฐ์ต๋๋ค โซe^(ln2รu) du์ ๊ฐ์ต๋๋ค ์ง์ ๋ฒ์น์ ์ํด ๋จ์ง ๋ ์ง์๋ฅผ ๊ณฑํ์ ๋ฟ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ์ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก du๊น์ง ๋ถ์ฌ์ฃผ๋ฉด ์ฐ๋ฆฌ์๊ฒ ์ต์ํ ํํ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ln2๋ ๊ณ์ฐ๊ธฐ๋ฅผ ์ด์ฉํ์ฌ ๊ฐ์ ๊ตฌํ ์ ์๋ ์์์ ๋ถ๊ณผํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์์์ ๋ถ๊ณผํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ a๋ผ๊ณ ๋ ์ ๋ ์์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ๊ตณ์ด a๋ผ๊ณ ์นํํ์ง ์์๋ โซe^au du=(1/a)e^au+C๋ผ๋ โซe^au du=(1/a)e^au+C๋ผ๋ ๊ฒ ์ ๋๋ ์๊ณ ์์ต๋๋ค ์ด๋ ๊ณต์ โซe^x dx=e^x+C์ ์ฐ์๋ฒ์น์ ์ํ ์์
๋๋ค e์ ์ง์๋ฅผ ๋ฏธ๋ถํ๋ฉด ์์ํญ a๊ฐ ๊ณฑํด์ง๊ณ 1/a์ ๊ณฑํ์ฌ a๋ฅผ ์์ํ๋ฉด ๊ฒฐ๊ตญ e^au๋ง ๋จ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค ์ฆ ๋ฑ์์ ์๋ณ์ด ์ฑ๋ฆฝํ๊ฒ ๋๋ ๊ฒ์
๋๋ค ์ฆ, โซe(ln2)u du๋ ์์ ๊ตฌํ ์์์ a ๋์ ln2๋ฅผ ๋์
ํ 1/ln2 ร (๋ท๋ถ๋ถ์ ์ ๋ถ์)์
๋๋ค ๋ท๋ถ๋ถ์ ์์ e^(ln2)u์ง๋ง ์์ ๊ฐ๋
์ฑ์ ์ํด์ ๊ตํ๋ฒ์น์ ๋ฐ๋ผ ๊ตํ๋ฒ์น์ ๋ฐ๋ผ ln2์ u์ ์์๋ฅผ ๋ฐ๊พธ๊ฒ ์ต๋๋ค ln2์ u์ ์์๋ฅผ ๋ฐ๊พธ๊ฒ ์ต๋๋ค ๊ฒฐ๊ตญ (1/ln2)ยทe^(uln2)๋ก ๊ฒฐ๊ตญ (1/ln2)ยทe^(uln2)๋ก ์์ด ์์ฑ๋์์ต๋๋ค ๋จ์ํ ๊ณฑ์
์์๋ง ๋ฐ๊ฟจ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ e^(ln2)u๋ผ๊ณ ์จ๋ ๋ฌด๋ฐฉํฉ๋๋ค ๋ถ์ ์ ๋ถ์ด๋ฏ๋ก C๋ ์์ง ์๊ณ ๋ํด์ค๋๋ค ์ ๋ฆฌํ๋ฉด, ์ ๋ถ๊ฒฐ๊ณผ๋ (1/ln2)ยทe^(uln2)+C์ธ๋ฐ ๋ง์ง๋ง ๋ง๋ฌด๋ฆฌ๋ก ์นํํ๋ ๋ถ๋ถ์ ๋ค์ x์ ๋ํ ์์ผ๋ก ๋ํ๋ด์ผ ํฉ๋๋ค ์ด์ ์์ ์์ ์กฐ๊ธ ์ ๋ฆฌํ์๋ฉด ์์ฐ๋ก๊ทธ์ ์ฑ์ง์ ์ํด ์์ฐ๋ก๊ทธ์ ์ฑ์ง์ ์ํด aยทlnb=lnb^a์
๋๋ค aยทlnb=lnb^a์
๋๋ค ์ฆ, ln ์์ ์์๋ ln ๋ค์ ์ค๋ ์์ฐ๋ก๊ทธ ์ง์์ ln ๋ค์ ์ค๋ ์์ฐ๋ก๊ทธ ์ง์์ ์ง์๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ๋ฐ๋ผ์ uยทln2๋ ln2^u๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค ๋ฐ๋ผ์ uยทln2๋ ln2^u๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค ์ญ๋ํจ์์ ์ด๋ฅผ ๋์
ํด ์ ๋ถ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ (1/ln2)e^(ln2^u)+C๋ผ๊ณ (1/ln2)e^(ln2^u)+C๋ผ๊ณ ์ ๋ฆฌํ ์ ์์ต๋๋ค ๊ทธ๋ ๋ค๋ฉด e^(ln2^u)๋ ๋ฌด์์ผ๊น์? ๋ก๊ทธ ์ ์์ ์ํ๋ฉด ln2๋ ๊ฐ์ด 2๊ฐ ๋๊ธฐ ์ํ e์ ์ง์์
๋๋ค ln2๋ ๊ฐ์ด 2๊ฐ ๋๊ธฐ ์ํ e์ ์ง์์
๋๋ค ๋ฐ๋ผ์ e์ ln2^u์ ๊ณฑ์ 2^u๊ฐ ๋ฉ๋๋ค ์ต์ข
์์ ๊ฐ๋จํ๊ฒ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด (1/ln2)2^u์
๋๋ค (1/ln2)2^u์
๋๋ค 2 ๋์ a๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ฌ ๋ ์ผ๋ฐ์ ์ธ ์์ผ๋ก ๋ํ๋ด ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค ํ์ง๋ง ์ด๋ค ์ a๋ ๋ชจ๋ e^lna ๋ผ๊ณ ๋ํ๋ผ ์ ์์ต๋๋ค e๋ฅผ lna ์ ๊ณฑํ๋ฉด ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ์ผ๋ก a๋ฅผ ์ป๊ธฐ ๋๋ฌธ์
๋๋ค ๋ค์ ์์ผ๋ก ๋์์์ ๋ค์ ์์ผ๋ก ๋์์์ ์นํํ๋ u๋ฅผ x์ ๋ํ ์์ผ๋ก ๋ฐ๊ฟ๋๋ค ์์ u=lnx๋ผ๊ณ ์นํํ ๋ฐ์ ๋ฐ๋ผ ์์ u=lnx๋ผ๊ณ ์นํํ ๋ฐ์ ๋ฐ๋ผ u์ ์๋ฆฌ์ lnx๋ฅผ ๋์
ํฉ๋๋ค ์๋ ๋ฌธ์ ๋ก ๋์๊ฐ ์๋ ๋ฌธ์ ๋ก ๋์๊ฐ โซ(2^lnx)/x dx์ ๋ต์ ๊ตฌํด๋ณด๋ฉด โซ(2^lnx)/x dx์ ๋ต์ ๊ตฌํด๋ณด๋ฉด 1/ln2(2^lnx)+C์
๋๋ค 1/ln2(2^lnx)+C์
๋๋ค ์ด๋ก์จ ์ต์ข
์ ์ธ ๋ต์ ๊ตฌํ๋๋ฐ ์ฑ๊ณตํ์ต๋๋ค ์์น๋ก ์ธํด ํท๊ฐ๋ฆด ์๋ ์๋๋ฐ 2^lnx๋ ๋ถ๋ชจ์ ์ผ๋ถ๊ฐ ์๋๋๋ค ๋๋์ด ๋์
๋๋ค ๋น๊ต์ ๊น๋ํ๊ฒ ํ์ด ๊ฐ๋ฅํ ๋ฌธ์ ๋ฅผ ์ ๊ณตํด์ค Bud์๊ฒ ๊ฐ์ฌ๋ฅผ ๋ณด๋
๋๋ค