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주요 내용

정적분을 가지고 𝘶로 치환

정적분에 u치환을 적용하는 것은 부정적분에 적용하는 것과 아주 비슷한데, 추가적인 단계가 있습니다: 적분의 한계를 감안하는 것입니다. 122x(x2+1)3dx를 구해보며 이 의미에 대해 알아봅시다.
2xx2+1의 도함수이므로 u치환을 적용할 수 있음을 알 수 있습니다. u=x2+1이라고 하면 du=2xdx입니다. 이제 치환합니다:
122x(x2+1)3dx=12(u)3du
잠깐! 적분의 한계는 u가 아니라 x에 맞춰져 있습니다. 그래프를 가지고 생각해 보세요. 곡선 y=2x(x2+1)3 아래의 넓이를 x=1부터 x=2까지 구해야 합니다.
곡선을 y=u3으로 바꾸었는데, 왜 극한이 같아야 할까요?
y=2x(x2+1)3y=u3의 그래프가 있습니다. x=1부터 x=2까지(혹은 u=1에서 u=2까지) 곡선 아래의 넓이가 서로 아주 다르다는 것을 볼 수 있습니다.
역시 극한은 같지 않아야 합니다. 새 극한을 찾으려면 어떤 u의 값이 x=1에서 x=2까지 x2+1에 해당하는지 찾아야 합니다:
  • 하한: (1)2+1=2
  • 상한: (2)2+1=5
이제 u치환을 정확히 할 수 있습니다:
122x(x2+1)3dx=25(u)3du
y=u3u=2에서 u=5까지의 넓이와 함께 그려져 있습니다. 이제 색칠된 영역이 거의 같은 크기라는 것을 볼 수 있습니다(눈으로 보면 모를 수 있지만 사실 둘은 같은 크기입니다).
여기서부터는 모두 u에 대해서 풀 수 있습니다:
25u3du=[u44]25=544244=152.25
기억하세요: u치환을 정적분에 사용하면 항상 적분의 극한을 생각해야 합니다.
연습문제 1
엘라는 15(2x+1)(x2+x)3dx를 풀었습니다. 아래는 그 과정입니다:
1단계: u=x2+x로 둡니다
2단계: du=(2x+1)dx라고 둡니다
3단계:
15(2x+1)(x2+x)3dx=15u3du
4단계:
15u3du=[u44]15=544144=156
엘라의 과정은 올바른가요? 그렇지 않다면 어디에서 실수를 했나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
1215x2(x37)4dx=?
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어 보세요.