치환 적분: 유리함수

우리는 4x^3 / x^4+7 dx의 부정적분을 구할 거에요 그럼 이걸 어떻게 건드려 볼까요? 치환적분처럼 보이는데 말이죠. 자, 이 문제의 열쇠는 x^4+7, 이겁니다 이걸 미분한게 분자에 있다는 걸 눈치채는 것입니다 x^4+ 7 을 미분한 건 4x^3이죠 x^4 의 도함수는 4x^3 이고, 7의 도함수는 0입니다 문제를 푸는 열쇠가 치환적분이라는 걸 여기서 알 수 있습니다 U로 치환, 아니 그냥 다 적을게요 치환은 하나의 적분을 하는 방법이 될 수 있습니다 그럼 U를 무엇으로 치환하고 싶나요? 저는 여러분이 이걸 스스로 생각할 수 있도록 남겨둘게요 그리고 이걸 해결하면 나머지는 물 흐르듯이 적분이 잘 될거예요 아마 당신은 u를 도함수를 분자에 가지고 있는 분모로 치환을 할 거에요 우리는 u를 x^4 plus 7로 치환을 할 수 있죠 그럼 이제 du는 무엇과 같을까요? du는 그저 x^4 plus 7를 x에 대해 미분한 도함수일 거에요 그러니 4x^3 에 dx죠 제가 여기서는 이렇게 가로로 적었지만 이 식은 du/dx, u를 x로 나눈 도함수와 완전히 똑같죠 그 값은 4x^3 이죠 만약 누군가가 du를 dx 위에 분수식으로 적는다면 그것은 그저 표기법으로 u를 x로 미분했다는 이야기에요 일반적으로 보이는 것처럼 진짜 분수가 아니에요 하지만 여기서 이 유사부호는 마치 분수처럼 계산을 할 수 있어요 그래서 여기서 여기로 가고 싶으면, 양변에 dx를 곱한다고 생각하면 될 거예요 식을 이렇게도 나타낼 수 있지만 우리는 다른 형태로 이 식을 사용해야 해요 u로 치환한 걸 활용할 수 있는 식으로 사용을 해야해요 그리고 여기서 왜 이게 유용한지 지금 여기 위에 다시 써볼게요 그럼 명백해질 거에요 dx를 분모로 올려서 이렇게 다시 쓸 수 있죠 그럼 뭐가 du이고 u인지 확실히 보일거에요 x^4 더하기 7를 u로 두었고요 du는 보시다시피 4x^3 dx와 같죠. 바로 여기 있네요 그럼 우리는 이 적분식을 다시 쓸 수 있어요 그럼 이 색칠된 식과 일치하는 부정적분 식 여기 보라색 식과 여기 있는 du와 같죠 색깔을 똑같이 했어요 u를 의미하는 x^4 더하기 7 그럼 이 식 전체를 다시 쓸 수 있죠 바로 이렇게 말이죠 그렇다면 1/u의 부정적분은 무엇이죠? 그건 ln의 절댓값 u와 같은 값이 되네요 절댓값을 쓰는 이유는 u가 음수임에도 정의가 되도록 이죠 그리고 실제로 그렇게 작용합니다 제 다른 비디오에서 확실히 보여줄거예요 ln |u| 뒤에 우리가 도함수를 씌울 때 사라져버린 적분상수 c가 붙여야 하죠 이게 결국 우리의 답안이죠 하지만 이제 u의 치환을 풀어줘야 해요 그럼 우리가 u의 치환을 풀어주면 어떻게 되죠? 그럼 이 식은 이 식과 같게 됩니다 ln |u| 는 결국 x^4 더하기 7 , c가 아니라 7이죠 그리고 마지막에 적분상수 c를 붙이는 걸 잊지 말아야 하죠 그렇게 우리는 답을 냈어요!