최대 & 최소 복습

최대점이란, 함수에서 함숫값이 최대인 점을 의미합니다. 비슷하게, 최소점이란, 함수에서 함숫값이 최소인 점을 의미합니다.

극소과 극대를 찾을 수 있다면, 최소, 최대값을 찾는 것은 한 단계만 더 추가하면 됩니다: 양끝값을 확인하면 됩니다.

최대최소 정리는 연속함수가 닫힌 구간에서 반드시 극값을 가진다는 것을 알려줍니다. 최댓값/최솟값은 극값 또는 구간의 양끝에서 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 구간 $-3\le x\le 3$‍에서 $h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍의 최댓값/최솟값을 찾아봅시다.

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍이기 때문에 임계점은 $x=-2$‍와 $x=1$‍입니다. 이 점들은 닫힌 구간 $-3\le x\le 3$‍을 삼등분합니다:

이제 임계점 그리고 구간의 양끝값을 살펴봅시다:

닫힌 구간 $-3\le x\le 3$‍에서, 점 $(-3,9)$‍와 점 $(1,-7)$‍은 극소값을 갖고, 점 $(-2,20)$‍과 점 $(3,45)$‍에서 극대값을 갖습니다.

여기서 최솟값은 구간안에서 찾았으나, 최댓값은 양끝점에서 찾았다는 것을 주의하세요.

정의역 전체 구간에서 최댓값/최솟값이 존재하지 않는 함수도 있습니다. 예를 들어, 일차함수 $f(x)=x$‍는 최댓값/최솟값이 없습니다(함숫값이 무한히 작아지고 커지기 때문에).

하지만, 정의역 전체에서 최댓값/최솟값을 갖는 함수들도 있습니다. 예를 들어 함수 $g(x)=x{e}^{3x}$‍을 분석해 봅시다.

$g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍이기 때문에, 임계점은 $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ 하나 뿐입니다.

$g$‍ 그래프 위의 왼쪽($-\mathrm{\infty }$‍부터)에서부터 오른쪽($+\mathrm{\infty }$‍까지)까지 걸어간다고 상상해 봅시다.

$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍을 만날 때까지 점점 내려가게 될 것입니다. 이 점을 지난 후에는 한없이 위로 올라가게 될 것입니다. 따라서 $g$‍는 $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍에서 최솟값을 갖습니다. 이 함수는 최댓값을 갖지 않습니다.