음함수 미분과 양함수 미분은 같은 결과가 나옵니다

제가 오늘 말하고자 하는 것은 여러분이 음함수 미분법으로 계산한 값과 그냥 미분해서 나온 값이 같을 것이라는 겁니다 x√y=1이라는 식을 세워봅시다 이 함수는 x에 대해서 미분하기에 매우 쉬운 함수입니다 양변을 x로 나눈면 우리는 √y=1/x라는 식을 얻을수 있습니다 양변을 제곱하면 y=1/x²라는 식을 얻을 수 있습니다 y=1/x²라는 식을 얻을 수 있습니다 위의 y를 x에 대해 미분하는 것은 매우 간단합니다 연쇄법칙을 사용하면 됩니다 dy/dx=-2/x³이라는 결과가 나옵니다 dy/dx=-2/x³이라는 결과가 나옵니다 간단합니다 하지만 제가 보이고자 하는 것은 함수를 그냥 미분했을 때에도 값이 같은지 보는 것입니다 미분연산자를 양 변에 작용시켜봅시다 좌변에는 x√y를 넣고 우변에는 1을 넣읍시다 좌변을 미분할 때 좌변을 미분할 때 곱의 법칙과 연쇄 법칙을 이용하여 미분을 해 봅시다 곱의 법칙을 적용하면 곱의 법칙을 적용하면 곱의 법칙을 적용하면 곱의 법칙을 적용하면 곱의 법칙을 적용하면 (dx/dx)√y에다가 (dx/dx)√y에다가 (d√y/dx)x를 더하는 것이 좌변임을 구할 수 있습니다 우변의 경우는 상수를 x에 대해 미분을 하는 것이므로 0입니다 이것은 무엇을 의미할까요? x를 x에 대해 미분하는 것은 1입니다 그러므로 √y만 남습니다 √y만 남습니다 이것은 무엇을 의미할까요? √y를 x에 대해 미분을 할 때 우리는 연쇄법칙을 쓸 것입니다 우리는 연쇄법칙을 쓸 것입니다 우리는 연쇄법칙을 쓸 것입니다 이 파란 색을 계산해봅시다 √y를 x에 대해 미분하는 것입니다 √y를 x에 대해 미분하는 것입니다 √y를 y에 대해 미분을 하면 √y를 y에 대해 미분을 하면 √y를 y에 대해 미분을 하면 (1/2√y)입니다 (1/2√y)입니다 다시 말을 하자면 이 식은 √y를 y에 대해 미분을 한 것입니다 이 식은 √y를 y에 대해 미분을 한 것입니다 만약 √x를 x에 대해 미분을 하게 되면 (1/2√x)를 얻게 됩니다 제가 하고자 하는 것은 y'을 구하는 것입니다 아직 안 끝났습니다 우리가 구하고자 하는 것은 y에 대해 미분을 하는 것이 아니라 x에 대해 미분을 하는 것입니다 그러니 이 식은 y에 대해 미분을 한 것이고 여기에 연쇄법칙을 적용시켜 dy/dx를 곱해주면 dy/dx를 곱해주면 x에 대해 미분한 값을 구할 수 있습니다 그러니 dy/dx를 곱합시다 그러니 dy/dx를 곱합시다 우리는 이것이 무엇인지 모릅니다 이것이 우리가 구해야 할 것입니다 연쇄법칙을 쓰면 이식은 √y를 y에 대해 미분한 값에 y를 x에 대해 미분한 값을 곱한 값이 됩니다 이것은 그러므로 위 식을 x에 대해 미분한 값입니다 우리는 이 식을 좌변에 얻었습니다 우변에는 0이 있습니다 다시 한 번 우리는 dy/dx를 구할 수 있습니다 쉬운 방법은 √y를 두 식에서 뽑아내는 것입니다 넓은 공간에서 쓰기 위해서 이것들을 옮기겠습니다 이것들을 옮기겠습니다 이것들을 옮기겠습니다 여기로 옮겼습니다 여기로 옮겼습니다 큰 공간을 얻지는 못했지만 조금은 넓어졌습니다 마음에 안 듭니다 그냥 다시 원래대로 하겠습니다 양변에서 √y를 빼내서 간단하게 만들어 보면 간단하게 만들어 보면 x/2√y 곱하기 dy/dx입니다 곱하기 dy/dx입니다 곱하기 dy/dx입니다 곱하기 dy/dx입니다 위 식의 값은 -√y와 같은 값을 가집니다 방금 √y를 양 변으로 빼냈습니다 이것을 복사해 붙이겠습니다 이것을 복사해 붙이겠습니다 이것을 복사해 붙이겠습니다 위에서 계속 dy/dx를 구하겠습니다 dy/dx를 구하려면 양 변을 x/2√y로 나누면 됩니다 양 변을 x/2√y로 나누면 됩니다 dy/dx가 좌변에 남고 위 식의 역수인 2√y/x를 양 변에 곱하면 2√y/x 곱하기 -√y입니다 이것이 무엇을 의미할까요? 이것은 -2y/x와 같습니다 -2y/x와 같습니다 -2y/x와 같습니다 dy/dx는 -2y/x와 같습니다 결국 우리는 dy/dx를 구했습니다 이 식은 우리가 처음 구한 식과는 달라 보입니다 우리가 곱의 법칙을 이용했을 떄에는 -2/x³을 구했습니다 하지만 우리가 깨달아야 하는 것은 우리가 y를 x에 대한 식으로 고칠 수 있다는 것입니다 고로 우리는 이 두 식이 같은 식이라는 것을 구할 수 있습니다 y=1/x²을 이용하면 dy/dx는 -2(1/x²)나누기 x와 같음을 알 수 있습니다 정리하면 -2/x³이고 위에서 구한 식과 일치함을 알 수 있습니다