음함수 미분법으로 도함수 구하기

우리는 지금까지 음함수의 도함수만 구했으며 어떤 특정한 점에서 실제 접선의 기울기는 구하지 않았습니다 그것을 이번에 해보겠습니다 x＝1 일 때 기울기를 구해봅시다 x＝1 일 때 이 음함수의 도함수를 구하면 x와 y에 대한 함수가 됩니다 따라서 x＝1일 때 y값을 구할 수 있습니다 한 번 찾아봅시다 x＝1을 대입해보면 이 식은 1＋(y－1)³＝28 이 됩니다 양변에서 1을 뺍시다 (y－1)³＝27 입니다 식이 예쁘게 정리된 것 같아 보입니다 양변을 ⅓ 제곱 해줍니다 y－1＝3 입니다 양변에 1을 더해주면 y＝4 가 됩니다 따라서 (1, 4) 에서의 접선의 기울기를 구해야 합니다 x＝1일 때 y＝4 입니다 여기서 접선의 기울기를 구하면 됩니다 음함수의 미분을 합시다 양변을 미분해서 도함수를 구해봅시다 여기 밑에 쓰겠습니다 x² 의 도함수는 2x 입니다 x에 대한 식이 세제곱 되어 있는 것을 미분하면 3 과 x에 대한 식을 제곱한 것을 곱한 것과 x에 대한 식을 x에 대해 미분 한 식을 곱한 꼴이 됩니다 x에 대한 이 식의 도함수는 무엇입니까? y의 도함수는 dy / dx 가 됩니다 x를 미분하면 1입니다 여기 －1이 됩니다 우변의 항은 상수 이므로 미분하면 0이 됩니다 dy와 dx 에 대해서 식을 풀어야 합니다 2x 가 있습니다 이것을 분배해서 dy/dx 를 곱하고 －1 을 곱합니다 dy/dx 를 곱하면 여기 적겠습니다 3(y－x)²(dy/dx) 가 됩니다 －1을 곱하면 －3(y－x)² 이 됩니다 이것의 결과는 0이 될 것입니다 우리는 이제 이것을 우변으로 넘겨야 합니다 양변에서 이것을 빼겠습니다 dy/dx 는 보라색으로 쓰고 나머지는 초록색으로 쓰겠습니다 좌변에는 3(y－x)² (dy/dx) 가 됩니다 x에 대한 y의 도함수를 구하기 위해서 양변에서 이것을 빼주면 －2x에 이것을 더한 것이 됩니다 즉 3(y－x)²－2x 가 됩니다 이것은 양변에 더해주고 이것은 양변에서 빼줍니다 －2x dy/dx 에 대해서 풀려면 앞서 했듯이 하면 됩니다 x에 대한 y의 도함수는 x에 대한 y의 도함수는 3(y－x)² －2x 를 3(y－x)² 으로 나눈 값이 됩니다 지금은 놔두겠습니다 x에 대한 y의 도함수는 무엇입니까? x＝1이고 y＝1일 때 접선의 기울기는 얼마 입니까? x＝1과 y＝4를 이 식에 대입해 봅시다 3(4－1)² 빼기 2가 됩니다 이 전체를 3(4－1)² 로 나눠줍니다 제곱하면 9입니다 3곱하기 9는 27 입니다 분자는 27－2＝25 가 됩니다 분모는 3과 9를 곱해서 27이 됩니다 기울기가 25/27 입니다 1은 아니지만 거의 1 입니다 이 그래프에서도 그렇게 보입니다 이 그래프의 출처는 Wolfram Alpha 입니다 시작할 때 말씀 드릴걸 그랬습니다 시청해주셔서 감사합니다