합성함수 구별하기

이번 영상에서는 합성 함수에 대해 복습하고 어떻게 함수가 합성될 수 있는지 구분하는 능력을 길러보겠습니다 합성 함수라는 단어를 들어본 적 없거나 이 동영상 처음 몇 분이 익숙하지 않다면 칸아카데미에서 합성 함수에 대한 대수학 영상을 시청하세요 이번 목표는 미적분 특히 연쇄법칙에 필요한 이번 목표는 미적분 특히 연쇄법칙에 필요한 연습을 해 보는 것입니다 연습을 해 보는 것입니다 합성 함수가 무엇인지 복습해 봅시다 합성 함수가 무엇인지 복습해 봅시다 f(x) = 1 + x라고 해 봅시다 f(x) = 1 + x라고 해 봅시다 그리고 g(x) = cos(x)입니다 그리고 g(x) = cos(x)입니다 그리고 g(x) = cos(x)입니다 f(g(x))는 무엇일까요? f(g(x))는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 f(x)에서 대입값이 더 이상 x가 아니라 g(x)라고요 따라서 f(x) 안에서 x를 볼 때마다 따라서 f(x) 안에서 x를 볼 때마다 g(x)를 대입합니다 따라서 이것은 따라서 이것은 대입값이 x 대신 g(x)이기 때문에 대입값이 x 대신 g(x)이기 때문에 1 + g(x)입니다 그리고 g(x)는 당연히 cos(x)이죠 따라서 여기 g(x) 대신 cos(x)라고 적을 수 있습니다 이것을 시각적으로 보면 x가 g(x)에 먼저 들어가고 x가 함수 g에 먼저 들어갑니다 그리고 함숫값이 g(x)입니다 그리고 함숫값 g(x)를 f(x)의 대입값으로 넣습니다 f(x)의 대입값으로 넣습니다 f(x)의 대입값으로 넣습니다 그리고 f의 함숫값은 대입값에 g(x)를 따릅니다 대입값에 g(x)를 따릅니다 이제 복습은 끝냈고 반대 방향으로 갈 수 있는지 봅시다 어떤 함수의 정의를 보고 어떤 함수의 정의를 보고 어떤 합성 함수로 표현할 수 있는지 찾아봅시다 어떤 합성 함수로 표현할 수 있는지 찾아봅시다 그러면 시작은 g(x) = cos(sin(x) + 1) 이라 합시다 보통의 경우 보통의 경우 여러 합성으로 합성 합수를 만들 수 있습니다 여러 합성으로 합성 합수를 만들 수 있습니다 그러면 동영상을 멈추고 g(x)를 두 개의 다른 함수를 합성해 만들어 보세요 f(x)와 h(x)라고 해보죠 몇 가지 방법으로 생각해 볼 수 있습니다 몇 가지 방법으로 생각해 볼 수 있습니다 여기 sin(x)가 있습니다 이것을 f(x)라고 하면 어떨까요? 그렇게 해보죠 그렇지 않고 헷갈리지 않게 다른 변수를 쓰겠습니다 이 sin(x)를 u(x)라고 하죠 이 sin(x)를 u(x)라고 하죠 따라서 이것은 cos(u(x) + 1)이 됩니다 그리고 다른 함수 v(x)를 그리고 다른 함수 v(x)를 어떤 대입값에 1을 더한 것의 cos 값이라고 정의해 봅시다 그러면 이것은 v와 u(x)의 합성이겠네요 그러면 이것은 v와 u(x)의 합성이겠네요 v(x) 대신 v(u(x))라고 한다면 이는 cos(u(x) + 1)이 됩니다 써 보겠습니다 v(u(x))는 sin(x)이니까 v(u(x))는 sin(x)이니까 v(u(x))는 x + 1 대신 cos(u(x) + 1)입니다 x + 1 대신 cos(u(x) + 1)입니다 그리고 u(x)는 sin(x)입니다 그리고 u(x)는 sin(x)입니다 이렇게 하면 됩니다 cos(u(x) + 1)이라 할 수도 있고 방금 한 것처럼 cos(sin(x) + 1)이라 할 수도 있습니다 방금 한 것처럼 cos(sin(x) + 1)이라 할 수도 있습니다 따라서 함수 g(x)는 u(x)가 sin(x)라고 하고 u(x)가 sin(x)라고 하고 v(x)가 cos(x + 1)이라 한다면 g(x)를 두 함수의 합성 함수로 쓸 수 있습니다 g(x)를 두 함수의 합성 함수로 쓸 수 있습니다 이것을 함수 세 개의 합성 함수로 만들 수도 있습니다 u(x)는 sin(x)라 하고 w(x)를 x + 1이라고 할 수 있습니다 w(x)를 x + 1이라고 할 수 있습니다 그러면 w(u(x))는 그러면 w(u(x))는 그러면 w(u(x))는 그러면 w(u(x))는 그러면 w(u(x))는 대입값이 더이상 x가 아니고 u(x)이므로 u(x) + 1 혹은 sin(x) +1입니다 u(x) + 1 혹은 sin(x) +1입니다 이건 sin(x + 1)이고 이제 세 번째 함수를 정의합니다 이제 세 번째 함수를 정의합니다 변수가 부족하네요 문자는 많은데 말이죠 h(x)는 어떤 대입값의 cos값 그러니까 cos(x)와 같다고 하겠습니다 그러면 h(w(u(x)))가 g(x)입니다 적어보겠습니다 h(w(u(x)))는 h(w(u(x)))는 h(x)는 어떤 대입값의 cos 값이라는 것을 기억하세요 따라서 cos()가 필요하고 대입값은 w(u(x))입니다 w와 u(x)는 이미 구했습니다 이것이죠 sin(x + 1)입니다 u(x)가 sin(x)입니다 그것을 w에 넣어서 sin(x + 1)을 얻습니다 그리고 이것을 h에 대입해서 이것의 cos 값을 얻습니다 기존 방정식과 같네요 g(x)와 같습니다 여기서의 요점은 어떻게 합성 함수를 구별하는지 아는 것입니다 항상 합성 함수인 것은 아니라 말하고 싶습니다 항상 합성 함수인 것은 아니라 말하고 싶습니다 예를 들어 이런 함수가 있습니다 이걸 지울게요 어떤 함수 f(x)가 cos(x)sin(x)라면 이를 합성 함수로 표현하기 힘들 것입니다 이를 합성 함수로 표현하기 힘들 것입니다 하지만 함수의 곱으로 나타낼 수는 있습니다 예를 들어 cos(x)가 u(x)라고 합시다 예를 들어 cos(x)가 u(x)라고 합시다 그리고 v(x)는 다른 색으로 v(x)는 sin(x)라고 합시다 v(x)는 sin(x)라고 합시다 그러면 f(x)는 u와 v의 합성 함수가 아니라 함수의 곱입니다 f(x) = u(x)v(x)입니다 f(x) = u(x)v(x)입니다 합성 함수를 만들어 u(v(x))라고 했다면 합성 함수를 만들어 u(v(x))라고 했다면 동영상을 멈추고 어떻게 될지 생각해 보세요 복습도 될 것입니다 u(x)는 어떤 대입값의 cos 값이고 u(x)는 어떤 대입값의 cos 값이고 대입값은 v(x)인 sin(x)입니다 대입값은 v(x)인 sin(x)입니다 그리고 v(u(x))는 이 반대일 것입니다 sin(cos(x))입니다 이건 방정식이나 함수의 정의를 보았을 때 이건 방정식이나 함수의 정의를 보았을 때 이건 방정식이나 함수의 정의를 보았을 때 합성 함수를 보는지의 구분을 돕기 위함입니다 합성 함수를 보는지의 구분을 돕기 위함입니다 가끔은 합성 함수의 곱이 있을 때도 있고 몫의 합성 함수일 수도 있습니다 함수를 합쳐서 새로운 합성 함수를 만드는 여러 방법이 있습니다