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주요 내용

합성 함수의 미분법으로 ∜(x³+4x²+7)의 도함수 구하기 예제

 ∜(x³+4x²+7)를 미분하고 x=-3일 때 도함수의 값을 구해 봅시다.

동영상 대본

d/dx [(∜(x³+4x²+7)]를 구해봅시다 d/dx [(∜(x³+4x²+7)]를 구해봅시다 d/dx [(∜(x³+4x²+7)]를 구해봅시다 어떤 식의 네제곱근은어떻게 미분할까요? 어떤 식의 네제곱근은어떻게 미분할까요? 이 식은 마치 합성함수처럼 보이고 실제로도 그렇습니다 이 식은 마치 합성함수처럼 보이고 실제로도 그렇습니다 이 식은 마치 합성함수처럼 보이고 실제로도 그렇습니다 또 합성함수를 다루기 위해서는 연쇄법칙을 염두에 두어야 합니다 또 합성함수를 다루기 위해서는 연쇄법칙을 염두에 두어야 합니다 하지만 우선 이 네제곱근을 다루기 쉽게 해봅시다 하지만 우선 이 네제곱근을 다루기 쉽게 해봅시다 이 네제곱근은 그저 분수 지수에 지나지 않습니다 이 네제곱근은 그저 분수 지수에 지나지 않습니다 그러므로 이 식은 d/dx[(x³+4x²+7)¼]입니다 그러므로 이 식은 d/dx[(x³+4x²+7)¼]입니다 그러므로 이 식은 d/dx[(x³+4x²+7)¼]입니다 그러므로 이 식은 d/dx[(x³+4x²+7)¼]입니다 이제 이 식의 미분은 어떻게 구할 수 있을까요? 이 식은 아까 언급했듯이 합성함수로 볼 수 있습니다 이 식은 아까 언급했듯이 합성함수로 볼 수 있습니다 우선 x에 대해 무엇을 먼저 해야 할까요? x에 대한 이 식을 u(x)로 치환하고 x에 대한 이 식을 u(x)로 치환하고 u(x)의 값을 ¼승 해주면 됩니다 u(x)의 값을 ¼승 해주면 됩니다 그리고 미분 시에는 이 바깥쪽 함수를 u(x)에 대한 식으로 보고 그리고 미분 시에는 이 바깥쪽 함수를 u(x)에 대한 식으로 보고 u(x)에 대한 미분값과 곱해주면 됩니다 u(x)에 대한 미분값과 곱해주면 됩니다 u(x)에 대한 미분값과 곱해주면 됩니다 이제 해보도록 합시다 지금 녹색으로 칠해지는 바깥쪽 함수, 즉 ¼승의 지금 녹색으로 칠해지는 바깥쪽 함수, 즉 ¼승의 지금 녹색으로 칠해지는 바깥쪽 함수, 즉 ¼승의 지금 녹색으로 칠해지는 바깥쪽 함수, 즉 ¼승의 지금 녹색으로 칠해지는 바깥쪽 함수, 즉 ¼승의 u(x)에 대한 미분을 구할 겁니다 u(x)에 대한 미분을 구할 겁니다 우선 멱의 법칙을 이용할겁니다 ¼승을 앞으로 가져오게 되면 이 식은 1/4{u(x)} ¼-1이 됩니다 ¼승을 앞으로 가져오게 되면 이 식은 1/4{u(x)} ¼-1이 됩니다 ¼승을 앞으로 가져오게 되면 이 식은 1/4{u(x)} ¼-1이 됩니다 ¼승을 앞으로 가져오게 되면 이 식은 1/4{u(x)} ¼-1이 됩니다 보시다시피 여기서 사용한 건 멱의 법칙밖에 없습니다 보시다시피 여기서 사용한 건 멱의 법칙밖에 없습니다 이제 이 u(x)에 대한 다항식의 미분값을 구해봅시다 이제 이 u(x)에 대한 다항식의 미분값을 구해봅시다 이제 여기에 u(x)로 표현되었던 식을 다시 적어보면 이제 여기에 u(x)로 표현되었던 식을 다시 적어보면 1/4(∜x³+4x²+7)1/4-1이 됩니다 1/4(∜x³+4x²+7)1/4-1이 됩니다 이제 이걸 곱하는 게 바로 연쇄 법칙입니다 이제 이걸 곱하는 게 바로 연쇄 법칙입니다 밖의 식의 미분값을 안쪽 식의 미분값과 곱할 겁니다 밖의 식의 미분값을 안쪽 식의 미분값과 곱할 겁니다 밖의 식의 미분값을 안쪽 식의 미분값과 곱할 겁니다 이때 u(x)의 미분값은 뭘까요? 다시 멱의 법칙을 사용하면 상수는 미분 시 어차피 0이 되므로 다시 멱의 법칙을 사용하면 상수는 미분 시 어차피 0이 되므로 2×4=8이고 2-1=1이므로 2×4=8이고 2-1=1이므로 2×4=8이고 2-1=1이므로 (3x²+8x)가 됩니다 (3x²+8x)가 됩니다 (3x²+8x)가 됩니다 (3x²+8x)가 됩니다 이제 3x²+8x인 u'(x)를 곱해봅시다 이제 3x²+8x인 u'(x)를 곱해봅시다 이제 3x²+8x인 u'(x)를 곱해봅시다 이제 3x²+8x인 u'(x)를 곱해봅시다 식을 다시 깔끔하게 적어보겠습니다 식을 다시 깔끔하게 적어보겠습니다 식을 다시 깔끔하게 적어보겠습니다 지수를 -3/4로 다시 적겠습니다 지수를 -3/4로 다시 적겠습니다 지수를 -3/4로 다시 적겠습니다 지수를 -3/4로 다시 적겠습니다 지수를 -3/4로 다시 적겠습니다 식을 다르게 바꿔도 되지만 핵심은 이 식이 연쇄법칙을 응용했단 겁니다 식을 다르게 바꿔도 되지만 핵심은 이 식이 연쇄법칙을 응용했단 겁니다 식을 다르게 바꿔도 되지만 핵심은 이 식이 연쇄법칙을 응용했단 겁니다 네제곱근이 ¼승과 같다는 기본적인 지수의 성질을 염두에 두고 네제곱근이 ¼승과 같다는 기본적인 지수의 성질을 염두에 두고 네제곱근이 ¼승과 같다는 기본적인 지수의 성질을 염두에 두고 이 식이 합성함수라는 점을 보시면 됩니다 이 식이 합성함수라는 점을 보시면 됩니다 여기 보이시는 것처럼 안쪽에 대한 밖의 식을 미분하고 여기 보이시는 것처럼 안쪽에 대한 밖의 식을 미분하고 x에 대한 안쪽 식의 미분을 곱하시면 됩니다 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 누가 f(x)=∜(x³+4x²+7)일 때 f(-3)이 무엇이냐 물었을 때는 이 식에 -3을 대입하면 됩니다 한번 해봅시다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -3을 대입하면 ¼(-27+36+7)-3/4이 됩니다 -27+36+7=16이므로 꽤 간단히 풀릴 겁니다 -27+36+7=16이므로 꽤 간단히 풀릴 겁니다 -27+36+7=16이므로 꽤 간단히 풀릴 겁니다 -27+36+7=16이므로 꽤 간단히 풀릴 겁니다 -27+36+7=16이므로 꽤 간단히 풀릴 겁니다 이제 여기에 (27-24)를 곱하는데 그냥 3이라고 하겠습니다 이제 여기에 (27-24)를 곱하는데 그냥 3이라고 하겠습니다 이제 여기에 (27-24)를 곱하는데 그냥 3이라고 하겠습니다 이제 여기에 (27-24)를 곱하는데 그냥 3이라고 하겠습니다 이제 여기에 (27-24)를 곱하는데 그냥 3이라고 하겠습니다 16의 3/4승이 뭘까요? 지금의 과정은 대수학입니다 이 과정을 생략하고 싶진 않습니다 지금의 과정은 대수학입니다 이 과정을 생략하고 싶진 않습니다 지금의 과정은 대수학입니다 이 과정을 생략하고 싶진 않습니다 지금의 과정은 대수학입니다 이 과정을 생략하고 싶진 않습니다 지금의 과정은 대수학입니다 이 과정을 생략하고 싶진 않습니다 뒤의 3을 앞으로 빼서 3/4(16¼)-3으로 만듭시다 뒤의 3을 앞으로 빼서 3/4(16¼)-3으로 만듭시다 뒤의 3을 앞으로 빼서 3/4(16¼)-3으로 만듭시다 뒤의 3을 앞으로 빼서 3/4(16¼)-3으로 만듭시다 뒤의 3을 앞으로 빼서 3/4(16¼)-3으로 만듭시다 16¼=2고 2³=8이므로 2-3=1/8입니다 16¼=2고 2³=8이므로 2-3=1/8입니다 16¼=2고 2³=8이므로 2-3=1/8입니다 16¼=2고 2³=8이므로 2-3=1/8입니다 결과적으로 값은 3/4(1/8)=3/32가 됩니다 결과적으로 값은 3/4(1/8)=3/32가 됩니다 이 값이 바로 x=-3일 때 y=f(x) 그래프의 접선의 기울기가 됩니다