합성 함수의 미분법으로 ln(√x)의 도함수 구하기

여기 함수 f(x)=ln(sqrt(x))가 있습니다 이 영상에서는 f의 도함수를 구하려고 합니다 여기서 중요한 점은 f를 두 함수의 합성함수로 볼 수 있다는 것입니다 그리고 여기 간단한 그림을 그려봅시다 여기서 무슨 일이 일어나고 있나요? 만약 f에 x를 대입한다면 가장 처음 해야 되는 일이 무엇인가요? 루트를 씌워야 합니다 어떤 x를 대입했을 때는 루트를 씌우는 것이 가장 우선입니다 루트 x의 값을 구하기 위해서 대입한 값에 루트를 취해야 합니다 그 다음에는 무엇을 해야 할까요? 루트를 씌운 뒤 자연로그를 취해야 합니다 고로 이것에 자연 로그를 취하면 되겠죠 그러면 이것을 입력값의 자연로그를 취해버리는 함수에 대입하는 것으로 생각할 수 있습니다 대입값으로 뭘 해야 하는지를 보여주기 위해 작은 정사각형을 그렸습니다 뭐가 만들어지나요? 루트 x에 자연로그를 씌운 것이 만들어 지겠죠 그리고 f(x)도 루트 x에 자연로그를 씌운 것과 같습니다 고로 f(x)를 이 전체 집합으로 보거나 저기 두 함수의 조합이라고 생각해도 무방할 것 같습니다 실제로 두 함수의 합성함수가 f(x)라는 것을 알 수 있습니다 하나의 함수에 수를 입력하고 그것의 결과를 다시 다른 함수에 넣습니다 여기 입력값에 루트를 취하는 함수 u가 있습니다 그러면 u(x)= sqrt(x)라는 것을 알 수 있죠 거기서 나온 결과 값을 가지고 또 다른 함수 v에 넣어줍니다 v는 무슨 일을 할까요? 바로 입력값에 ln을 취해줍니다 이 경우에서는 v는 입력값, 즉 루트 x에 ln을 취하게 됩니다 최종적으로 ln(sqrt(x))가 나오겠죠 v를 x에 대한 함수로 표현하자면 자연로그를 취한 x, 즉 ln x가 되겠죠 여기 보이는 f(x)와 좀 전에 색칠된 l은 f(x)와 같고, 이는 루트 x에 자연로그를 취한 값과 같습니다 v(sqrt(x)), 또는 v(u(x)) 이 합성함수를 통하여 만약 도함수를 구하고자 한다면 연쇄 법칙이 몹시 도움이 될 것을 알 수 있습니다 연쇄 법칙을 통해 도함수가 안쪽 함수에 대한 바깥 함수의 도함수라고 생각할 수 있습니다 고로 이것은 v'(u(x)) 곱하기 x에 대한 안쪽 함수의 도함수, u'(x)가 된다 이런 것들을 어떻게 계산할 것인가요? u(x)와 v(x)의 도함수를 구하는 방법은 이미 알고 계실 것입니다 여기에서는 루트 x는 x의 1/2승과 같기에 다항식의 미분법을 이용하면 1/2을 꺼내고 지수에서 1을 빼면 0.5x^(-1/2)이 됩니다 그러면 v'(x)는 무엇일까요? lnx를 미분하면 다른 영상에서 보였듯이 1/x이 됩니다 이제 u'(x)와 v'(x)는 아는데 v'(u(x))는 무엇일까요? v'(u(x))를 구하기 위해서는 x를 u(x)로 바꿔줍니다 그러면 v(u(x))는 1/(u(x))와 같습니다 즉 1/sqrt(x)가 됩니다 즉 1/sqrt(x)가 됩니다 즉 1/sqrt(x)가 됩니다 즉 1/sqrt(x)가 됩니다 즉 1/sqrt(x)가 됩니다 여기 있는 것은 바로 1/sqrt(x)이고, 여기 u'(x)는 0.5x^(-1/2)이 된다 그리고 x^(-1/2)는 1/sqrt(x)과 같은 것임을 알 수 있습니다 즉 u'(x)는 0.5/x^(1/2)이 됩니다 아니면 1/2*x(1/2)이라고도 표현 가능합니다 이것은 무엇이 될 것인가요? 이것은 여기 초록색 v'(u(x))는 1/루트(x)와 같고 곱하기 u'(x)는 1/2*x(1/2)이니 답은 무엇일까요? 간단한 계산을 하면 이것은 1/(2*sqrt(x)*sqrt(x))가 되는데 이걸 정리하면 1/2x가 됩니다 이해했기를 바랍니다 일부러 다이아그램을 그려 여러분들이 합성합수를 이해하는 데에 너무 많은 에너지를 쏟지 않도록 했습니다 그리고 미적분 시간에 많이 보았을 법한 연쇄 법칙의 이러한 표현법들을 익힐 수 있도록 하였습니다 더 많은 연습을 한다면 더 능숙하게 할 수 있겠지만 앞으로는 이런 과정을 다 서술하지 않고도 그래, 여기 합성합수가 있네 ln(sqrt(x))구나 이걸 v(u(x))라고 볼 수 있겠네 지금 이 함수의 도함수를 구하기 위해서는 안쪽 함수에 대한 바깥 함수의 도함수를 구해야 합니다 고로 ln(무엇)을 미분하면 1/무엇 이 나오게 됩니다 1/무엇 이 나오게 됩니다 ln(무엇)의 도함수는 1/(무엇)이 됩니다 이걸 우리는 풀어썼을 뿐입니다 이걸 생각하는 한가지 방법은 lnx가 어떻게 될까?라고 생각하는 것입니다 1/x가 되겠지만, 준식은 lnx가 아닙니다 1/sqrt(x)가 됩니다 1/sqrt(x)가 되므로 바깥 함수의 안쪽 함수에 대한 도함수를 구합시다 그러면 그것을 안쪽 함수의 x에 대한 도함수와 곱하면 됩니다. 이제 끝입니다 커넥트 번역 봉사단 | 이나영