합성 함수의 미분법에 대한 흔한 오해

이번 동영상에서는 사람들이 흔히 잘못 알고 있는 부분에 대해 공부해 보도록 할게요 흔히 잘못 알고 있는 부분은 AP 시험문제를 만드는 College Board에서 알려주었습니다 어떤 방정식의 도함수를 구한다고 합시다 어떤 방정식의 도함수를 구한다고 합시다 ln(sin(x))의 도함수를 구한다고 합시다 흔히 잘못 알고 있는 첫 번째는 흔히 잘못 알고 있는 첫 번째는 이러한 초월함수를 다룰 때 이러한 초월함수를 다룰 때 초월함수는 이런 삼각함수나 로그 함수처럼 일반적인 대수학 연산을 사용하지 않는 함수를 말합니다 이러한 초월함수를 보거나 그 합성을 보았을 때 이것을 함수의 곱으로 혼동하곤 합니다 처음 이것을 보면 d/dx[ln(x)sin(x)]와 같다고 생각할 수 있습니다 d/dx[ln(x)sin(x)]와 같다고 생각할 수 있습니다 d/dx[ln(x)sin(x)]와 같다고 생각할 수 있습니다 d/dx[ln(x)sin(x)]와 같다고 생각할 수 있습니다 쓰여 있는 것을 보면 아주 비슷해 보입니다 하지만 이것은 두 함수의 곱입니다 ln(x)가 f(x)이고 sin(x)가 g(x)라 하면 이것은 f(x)와 g(x)의 곱입니다 이것은 f(x)와 g(x)의 곱입니다 그러면 여기서는 곱의 공식을 사용합니다 이걸 계산하려면 곱의 공식을 사용합니다 하지만 이것은 합성입니다 f(g(x))이지 f(x)g(x)가 아닙니다 f(g(x))이지 f(x)g(x)가 아닙니다 여기에서 sin(x)가 g(x)이고 그리고 f(g(x))는 ln(sin(x))입니다 이것이 f(g(x))입니다 이것이 f(g(x))입니다 누군가 f(x)가 무엇인지 묻는다면 ln(x)지만 f(g(x))는 ln(g(x))이기 때문에 ln(sin(x))입니다 이것이 첫 번째 문제입니다 무엇을 사용하는지 확인하세요 특히 초월수 함수를 다룰 때 함수의 합성이라면 연쇄법칙을 사용해야 하지 곱셈 공식은 아닙니다 곱셈 공식은 아닙니다 가끔 둘 다 있을 수도 있습니다 함수의 합성의 곱이라면 좀 더 복잡합니다 그런 조합이 아닌지 자세히 살펴보세요 그런 조합이 아닌지 자세히 살펴보세요 학생들이 다음으로 잘못 알고 있는 것은 합성함수의 미분법인 연쇄 법칙을 사용해야 함을 알더라도 합성함수의 미분법인 연쇄 법칙을 사용해야 함을 알더라도 완전하지 않은 경우가 있습니다 이 예를 계속 사용해 봅시다 연쇄 법칙을 보면 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수를 구해야 한다고 말합니다 이 경우 f(x)는 ln(x)이고 f(g(x))는 이 방정식입니다 첫 번째 부분 f'(g(x))는 f'(g(x))는 ln(x)의 도함수는 1/x입니다 ln(x)의 도함수는 1/x이지만 ln(x)의 도함수는 1/x이지만 입력값이 x인 도함수를 구하는 것은 아닙니다 입력값이 g(x)인 도함수를 구해야 하죠 1/x가 아니라 1/g(x)입니다 1/g(x)입니다 그리고 g(x)는 sin(x)임을 압니다 그리고 g(x)는 sin(x)임을 압니다 College Board에서 알려준 사실은 College Board에서 알려준 사실은 많은 학생들이 여기서 멈춘다는 것입니다 첫 번째 부분만 하고 두 번째 부분을 곱하는 것을 잊어버립니다 이건 끝난 것이 아닙니다 이것을 g'(x)에 곱해야 합니다 적어보겠습니다 g'(x)는 무엇일까요? x에 대한 sin(x)의 도함수는 cos(x)입니다 g'(x) 이 예에서 도함수는 이 예에서 도함수는 이 예에서 도함수는 이 부분인 1/sin(x)과 cos(x)를 곱한 값입니다 적어 보겠습니다 1/sin(x)에 다른 색으로 하겠습니다 1/sin(x)에 cos(x)를 곱한 것입니다 다시 말하지만 이러한 실수를 하지 않도록 하세요 이러한 실수를 하지 않도록 하세요 조금 더 깨끗하게 나누어 놓겠습니다 조금 더 깨끗하게 나누어 놓겠습니다 이러한 실수를 하지 않으려면 이러한 실수를 하지 않으려면 합성을 알아보고 이것이 ln(x)와 sin(x)의 곱이 아니라 이것이 ln(x)와 sin(x)의 곱이 아니라 ln(sin(x))라는 것을 알아야 합니다 그리고 실제로 연쇄법칙을 적용할 때 안에 대한 바깥의 도함수를 구해야 하므로 ln(x)의 도함수는 1/x이고 입력값이 g(x)일 때는 1/sin(x)입니다 그리고 안에 있는 함수의 도함수를 곱해야 합니다 그리고 안에 있는 함수의 도함수를 곱해야 합니다 이것을 잊어버리지 마세요 학생들이 잘못 알고 있는 것 중 다른 것은 방금 했던 것처럼 연쇄 법칙을 적용하는 것이 아니라 안에 있는 함수의 도함수에 대해 바깥에 있는 함수의 도함수를 구하는 것입니다 예를 들어 이걸 계산하는 것입니다 f'(g'(x)) 말이죠 f'(g'(x)) 말이죠 이 경우 f'(x)는 1/x입니다 하지만 입력값이 g'(x)라면 g'(x)는 cos(x)입니다 많은 학생들이 이렇게 합니다 바깥의 도함수를 구해서 안에 있는 함수의 도함수에 적용하는 것이죠 안에 있는 함수의 도함수에 적용하는 것이죠 그러면 안됩니다 그렇지 않도록 아주 조심하세요 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수의 도함수이지 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수의 도함수이지 도함수에 대한 것이 아닙니다 그리고 안에 있는 함수의 도함수를 곱하는 것도 잊지 마세요 도움이 되었길 바랍니다 이 모든 것이 완전히 낮설게 느껴진다면 연쇄법칙을 소개하는 동영상 모두를 시청해 보고 예제도 풀어보세요 이는 추가적으로 실수를 하지 않도록 하기 위함입니다 연쇄법칙이 필요한데 곱셈 공식을 사용하거나 연쇄법칙이 필요한데 곱셈 공식을 사용하거나 g'(x)를 곱하는 부분을 잊는 실수 g'(x)를 곱하는 부분을 잊는 실수 f'(g'(x))를 계산하는 실수를 하지 않도록이요 도움이 되었길 바랍니다