도함수를 사용해서 총 이동거리 구하기

수직선을 따라서 이동하는 한 입자의 위치는 s(t) = 2/3 × t³ - 6t² + 10t 로 주어집니다 여기서 t는 0 이상이며 단위는 '초'이고 처음 6초 동안 입자는 좌우 방향으로 모두 움직입니다 이 때 입자의 이동거리는 0 ≤ t ≤ 6에서 총 얼마일까요? 우선 '이동거리'가 무엇인지 되짚어봅시다 우선 '이동거리'가 무엇인지 되짚어봅시다 여기서 출발하여 오른쪽으로 3칸 이동하고 왼쪽으로 4칸 이동한다고 생각해봅시다 이동방향을 나타내기 위해서 왼쪽 방향은 음의 부호로 쓰겠습니다 이 경우의 이동거리는 오른쪽으로 3 왼쪽으로 4이므로 총 7이 됩니다 최종 위치는 -1인데도 불구하고 이동거리는 7이 되는 것입니다 즉 위치의 변화량 혹은 변위가 -1이라고 할 수 있습니다 시작점에서 1만큼 왼쪽으로 이동했기 때문입니다 하지만 이동거리는 7입니다 여기서 중요한 사실을 찾을 수 있습니다 동영상을 잠깐 멈추고 직접 문제를 해결해보세요 이 문제는 처음 6초 동안의 입자의 이동거리를 묻는 문제입니다 따라서 이 문제를 해결할 수 있는 가장 쉬운 방법은 입자가 언제 오른쪽으로 가고 언제 왼쪽으로 가는지를 확인하는 것입니다 속도가 양수일 때에는 입자가 오른쪽으로 이동하며 속도가 음수이면 입자는 왼쪽으로 이동합니다 결국 이 문제는 속도가 언제 양수이고 음수인지를 확인하는 문제라고 생각할 수 있습니다 속도의 부호를 살펴보기 위해서 속도 함수의 그래프를 직접 그려보겠습니다 이것이 위치 함수입니다 속도 함수는 위치 함수를 시간에 대해서 미분한 것입니다 2/3 × t³ 를 시간에 대해서 미분하면 2t² 입니다 마찬가지로 다음 두 항을 미분하면 - 12t + 10 이 됩니다 이제 그래프를 그려 봅시다 이 함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선이 될 것입니다 이 함수는 2차식이며 2차항의 계수인 t² 항의 계수가 양수이므로 위로 볼록한 포물선이 됩니다 대략적인 모양은 이렇게 되겠죠 이 때 입자의 이동 방향이 변하므로 속도 함수는 어떨 때는 양의 값을 갖고 어떨 때는 음의 값을 가질 것으로 예상할 수 있습니다 속도 함수는 그래프가 t 축과 만나는 두 점 사이의 구간에서 음수가 되며 그 구간 바깥에서는 양수가 됩니다 이 구간을 찾기 위해서는 t에 대한 이 방정식의 근을 찾으면 됩니다 그러면 이 함수의 그래프를 그릴 수 있을 것입니다 근을 찾기 위해서 이 식을 0이라고 놓겠습니다 그러면 2t² - 12t + 10 = 0 이라는 방정식을 얻을 수 있겠죠 양 변을 2로 나누어 최고차항의 계수를 1로 만들겠습니다 그 결과 t² - 6t + 5 = 0 라는 인수분해를 하기에 훨씬 수월한 식을 얻을 수 있습니다 좌변의 식을 인수분해하면 (t - 1)(t - 5) 가 됩니다 -1에 -5를 곱하면 5가 되고 -1에 -5를 더하면 -6이 됩니다 이 식이 0이 되는 것입니다 따라서 이 등식의 좌변은 이 두 항 중 적어도 하나가 0일 때 0이 됩니다 이 두 항 중 적어도 하나가 0일 때 0이 됩니다 두 수의 곱이 0이면 둘 중 적어도 하나는 0이죠 따라서 t = 1이거나 t = 5입니다 이제 그래프를 그려봅시다 먼저 축을 그립시다 먼저 속도 축을 그리고 시간은 양의 시간에 대해서만 고려하면 되므로 이렇게 양의 부분만 그려 봅시다 이렇게 양의 부분만 그려 봅시다 시간 축에 1, 2, 3, 4, 5의 점을 찍읍시다 1, 2, 3, 4, 5의 점을 찍읍시다 여기가 t = 1이고 여기가 t = 5입니다 그리고 이것이 t축입니다 이제 그래프를 그려 봅시다 아래로 볼록한 포물선이 되고 이 두 점과 모두 만나야 합니다 그리고 그 꼭짓점은 가운데의 t = 3인 점이 됩니다 따라서 그래프는 이렇게 됩니다 이것이 위로 볼록하고 두 점에서 t축과 만나는 포물선을 그리는 유일한 방법입니다 그리고 이 그래프는 v축과 이 점에서 만납니다 따라서 t = 0일 때의 속도를 알 수 있습니다 t = 0일 때 속도는 10이 됩니다 즉 v 절편이 10이 되는 것입니다 그래프는 이런 개형이 됩니다 이 그래프에서 볼 수 있듯이 0 < t < 1 일 때의 속도는 양수이며 t > 5일 때의 속도 또한 양수입니다 1초에서 5초 사이에서는 속도 그래프가 t축의 아래쪽에 있으므로 속도가 음수입니다 따라서 입자가 왼쪽으로 이동할 것입니다 따라서 입자가 왼쪽으로 이동할 것입니다 이제 총 이동 거리를 구하기 위해서 필요한 t = 0, t = 1, t = 5, t = 6에서 입자의 위치를 알아봅시다 그리고 이 지점들 사이의 거리는 각각 얼마인지 확인해 봅시다 각각 얼마인지 확인해 봅시다 먼저 여기에 작은 표를 만듭시다 먼저 여기에 작은 표를 만듭시다 왼쪽은 시간이고 오른쪽은 시간에 따른 위치입니다 우리에게 필요한 것은 t = 0, 1, 5, 6초에서의 위치입니다 t = 0에서는 위치가 0입니다 즉 s(0) = 0이 되겠죠 t = 1에서는 2/3 - 6 + 10으로 4⅔이 되겠죠 4⅔이 되겠죠 이제 t = 5의 경우에 위치를 계산해보겠습니다 먼저 2/3 × 125은 250/3이 되고 250/3이 되고 250/3이 되고 250/3이 되고 83 × 3 = 249 이므로 83⅓ 입니다 83⅓ 이것이 첫 번째 항입니다 -6 × 25을 해보면 -6 × 25을 해보면 -150이고 여기에 10 × 5인 50을 더해주면 됩니다 -150 + 50 = - 100이므로 83⅓ - 100이 되어 최종 결과는 -16⅔ 이 됩니다 따라서 5초 후의 위치는 -16⅔ 입니다 그리고 6초 후에는 2/3 × 6³ 에서 2/3 × 6³ 에서 6 × 6²인 6³을 빼주고 여기에 60을 더해주면 됩니다 어떻게 이 식을 정리할까요? 앞의 두 항을 6³으로 묶어서 다시 쓰면 6³(2/3 - 1) + 60이 되고 6³(2/3 - 1) + 60이 되고 계산하면 6³( - 1/3) + 60가 됩니다 계산하면 6³( - 1/3) + 60가 됩니다 이를 다시 쓰면 이를 다시 쓰면 6² × 6 × ( - 1/3) + 60 이고 6² × 6 × ( - 1/3) + 60 이고 6 × ( - 1/3) = -2이므로 -2 × 36 + 60이 됩니다 즉 -72 + 60가 되고 즉 -72 + 60가 되고 따라서 결과는 -12가 됩니다 이제 입자가 얼마나 이동했는지 생각해봅시다 입자는 오른쪽으로 움직이기 시작해서 4⅔만큼 움직입니다 따로 적어두겠습니다 우선 4⅔만큼 오른쪽으로 이동했고 입자는 이제 왼쪽으로 이동합니다 이제 4⅔의 위치에서 -16⅔ 지점까지 이동해야 하는데 이것은 입자가 4⅔만큼 되돌아와서 이것은 입자가 4⅔만큼 되돌아와서 16⅔만큼 더 이동했음을 의미합니다 즉 오른쪽으로 4⅔에 있었다가 원점까지 왼쪽으로 4⅔를 돌아오고 왼쪽으로 16⅔를 더 간 것입니다 그러므로 입자는 왼쪽으로 4⅔만큼 간 뒤 16⅔만큼 더 갔다고 할 수 있습니다 16⅔만큼 더 갔다고 할 수 있습니다 이는 다른 방법으로도 계산할 수 있습니다 이 두 지점 사이의 차를 계산해 봅시다 4⅔ - ( -16⅔) 을 계산하면 4⅔ - ( -16⅔) 을 계산하면 4⅔ + 16⅔ 과 같습니다 4⅔ + 16⅔ 과 같습니다 이제 다시 -16⅔에 -12까지 이동해야 합니다 이는 오른쪽으로 4⅔을 더 이동했음을 의미합니다 더 이동했음을 의미합니다 이제 이 값들을 모두 더합시다 이제 이 값들을 모두 더합시다 총합은 얼마일까요? 일단 분수부를 계산하면 2/3 × 4가 되어 8/3이 나옵니다 정수 부분의 경우 4 + 4 + 16 + 4 = 28 이 됩니다 따라서 계산 결과는 28과 8/3이 됩니다 그런데 8/3은 2⅔과 같으므로 28 + 2⅔ = 30⅔이 됩니다 따라서 6초 동안 입자의 이동거리는 총 30⅔입니다