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주요 내용

무한등비급수 문장제: 반복되는 소수

반복되는 소수를 무한등비급수를 이용해 어떻게 표현할 지 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

반복되는 소수 0.4008이 있다고 합시다 숫자 4008이 계속 반복됩니다 만약 적으려고한다면 이것처럼 보이게 됩니다 0.400840084008, 그리고 영원이 갑니다 지금 비디오를 멈추고 이 반복되는 소수를 무한한 합 즉 무한 급수로 나타낼 수 있는지를 생각해 보세요 그리고나서 이 무한 급수가 등비급수인지 생각해보세요 당신이 했다고 생각하겠습니다 생각해봅시다 이 무한 급수의 각각의 항마다 4008의 반복되는 패턴을 나타낼 것입니다 예를 들면, 이 4008을 첫 항으로 하겠습니다 그래서 이것이 0.~으로 보여질수있습니다 이 4008은 0.4008을 나타냅니다 그리고 나서 이 4008을 다음 항으로 만들겠습니다 혹은 다음 항이 이 4008을 나타냅니다 이 4008은 0.00004008과 같습니다 그리고 나서 이 다음 4008은 0.~ 8개의 영이 있는 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 여덟 그리고 4008 그리고 이렇게 영원히 갈 것 입니다 우리도 계속 그렇게 영원히 할 것입니다 여기에 패턴이 있으면 좋겠네요 우리는 4개의 0을 소수가 시작하기전에 매번 넣고 있습니다 우리는 그냥 계속 영원히 그렇게 할 수 있습니다 그래서 이것은 무한한 합입니다 이것은 무한급수입니다 다음 질문은 등비 급수인가 ? 입니다 이것이 등비급수가 되기 위해서는 한 부분에서 다른 부분을 가면서 같은 비율으로 같은 값이 곱해져야 합니다 우리가 0.4008에서 이것으로 될때, 무엇을 곱하나요? 어디서 우리가 4개의 0을 4008앞에 곱하나요? 무엇을 우리가 곱하고 있나요? 음 우리는 소수점을 왼쪽4칸 으로 옮겼습니다 그래서 10^(-4)만큼 곱하고 있습니다 혹은 그것을 우리가 0.0001 즉 10의 -4제곱 곱하고 있는것으로 볼 수 있습니다 여기서 여기로 가기위해서도 같습니다 소수점를 왼쪽으로 4칸 옮기세요 한번더 우리는 0.0001을 곱하고 있습니다 우리가 10^(-4)의 등비를 가지고 있다는 것이 꽤 명백해 보입니다 우리는 이것을 다시 적을 수 있습니다 첫 번째 항에서는 0.4008 곱하기 공비 공비 10^(-4)의 0제곱 그래서 그 값이 여기에서 더하기 0.4008 곱하기 10^(-4)의 1제곱 그리고 그 값이 여기있는 것입니다 더하기 0.4008곱하기 10^(-4)의 제곱 그리고 계속 됩니다 그래서 이 형태에서 등비급수, 무한 등비급수가 좀 더 확실해 보입니다 만약 시그마 표기로 쓰고싶다면 우리는 적을 수 있습니다 ∑(합) k=0에서 무한 초항 이 뭔가요? 초항은 0.4008 곱하기 공비 그리고 공비는 10^(-4)로 적히거나 0.0001입니다 저는 10^(-4)로 적겠습니다 10^(-4)의 k제곱 다음 흥미로운 질문은 이것이 명백히 등비급수로 나타내질 수 있습니다 합이 얼마인가요? 이것은 그냥 4008이 계속계속 반복되는 것이라고 말할지도 모릅니다 그러나 이것을 분수로 나타내고 싶습니다 그래서 비디오를 멈추고 무한 등비 급수의 합을 찾는데 이미 아는 것을 이용해보세요 여기 있는 것을 분수로 표현하기 위해서요 하고 있다고 생각하겠습니다 이제 생각해 봅시다 우리는 벌써 봤습니다 우리는 벌써 이전 동영상에서 무한등비 급수의 합을 유도했습니다 중간색을 사용하겠습니다 만약 이러한 급수가 있다면 k=0에서 무한 a×(r^k) , 이 합은 a/(1-r)과 같아집니다 몇몇 다른 영상에서 벌써 몇 번 유도했습니다 그래서 이 경우에, -- 여기서 a는 0.4008입니다 그리고 0.4008/(1-공비) --이것 처럼 적겠습니다 0.0001 즉 1/10000 얼마가 될까요? 이것은 0.4008,그리고 1-(1/10000)을 계산하면 즉 (10000/10000)-(1/10000) 9999/10000이 나옵니다 다시한번 볼수있습니다 헷갈리지않게 다시 적을게요 1이 10000/10000과 같습니다 그리고 여기서 1/10000을 빼고 있습니다 그리고 그 값이 9999/10000입니다 이 식의 값은 0.4008 곱하기 (10000/9999)과 같습니다 이 위의 숫자 곱하기 10000은 얼마인가요? 그 값은 4008이 됩니다 4008/9999 우리가 반복되는 소수를 분수로 표현했습니다 우리가 성공했습니다 간단히 할 수 있네 라고 말할지도 모릅니다 그리고 봅시다 이것은 벌써 분수네요, 그리고 우리가 벌써 성공했습니다 만약 좀 더 간단히 하고 싶다면 여기에 숫자를 좀 더한다면, 4+8은 12고 그리고 1+2는 3입니다 분자가 3으로 나눠지고 분모도 3으로 나눠집니다 그래서 둘다를 3으로 나눕시다 4008 나누기 3 4에 한번 , 빼고 ,그리고 10이 남습니다 3곱하기3은 9이고 빼고, 그러면 또다른 10이 나오고 3곱하고 3곱하기3은 9이고 빼고 8이 남습니다 18을 3으로 나누면 정확히 6배입니다 그래서 분자는1336입니다 이 값은 더이상 3으로 나눠지지않습니다 수의 합은 3으로 나눠지지않습니다 이것은 3의 배수가 아닙니다 그리고 이 분모를 3으로 나누면 값이 3333이 됩니다 우리가 간략하게 만든 것 같네요 우리가 더 간단하게 만들 수 있을 것 같습니다 더 확인해 봅시다 내가 하지않았다면 알려주세요 어떤 방식으로든, 우리는 이것을 적었습니다 이것은 좀 깔끔하지 못했죠 반복되는 소수가 무한급수 뿐만아니라 무한등비급수로 나타내질 수 있다는 것을 봤습니다 이제 우리는 유도한 공식을 무한 등비 급수의 합을 분수로 나타기위해서 사용 할 수 있습니다