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주요 내용

예제: 등비급수의 수렴

등비급수 8+8/3+8/9+..의 값을 구합니다. 공비의 절댓값은 1보다 작기 때문에 급수는 유한한 수에 수렴합니다.

동영상 대본

무한등비급수의 계산을 연습해 봅시다 지금 여기 등비급수가 한 개 있습니다 우리가 다루는 이 식은 등비 급수이기 때문에 일정한 공비를 갖고 있어야 합니다 첫 번째 항에서 두 번째 항까지 1/3이 곱해졌고 다음 항에서 다시 1/3이 곱해질 것입니다 우리는 이것을 계속 반복합니다 우리는 이 계산을 8 더하기 8 곱하기 1/3 8 곱하기 1/3, 더하기 8 곱하기 1/3의 제곱 8 곱하기 1/3의 제곱 우리는 연속되는 각 항마다 1/3씩 계속 곱합니다 그렇다면 우리는 이 식을 Σ로 나타낼 수 있겠군요 이 두 번째 식은 우리가 쓴 첫 번째 식과도 같고 시그마로 나타낸 합과도 같습니다 우리는 무엇이 필요한 지에 따라 0 또는 1로 계산을 시작할 수 있습니다 여기서는 k=0부터 시작합니다 그리고 이건 무한 등비급수이니까 무한대로 커질 것입니다 그래서 k는 무한대까지라고 적습니다 이 식의 첫 번째 항은 8이었습니다 그래서 우리는 8에다 등비급수의 공비인 1/3을 k제곱 해줘야 합니다 지금부터 이 식이 맞는지 확인해봅시다 저는 문제를 풀 때 항상 확인을 합니다 그리고 여러분도 그랬으면 좋겠어요 그래서, k가 0일 때의 값은 첫 번째 항의 값과 같아야 합니다 여기 보이는 것처럼요 8 곱하기 1/3의 0제곱은 정말 8이 맞네요 만약에 k=1이라면 여기 있는 두 번째 항이 되겠죠 그건 8 곱하기 1/3과 같을 것입니다 바로 여기에 있죠 k=2일때는 여기 있는 이 값이 되겠죠 그래서 이 모든 계산은 같은 원리를 설명하고 있습니다 지금까지 등비 급수를 표현하는 여러 가지 방법을 배웠으니, 이제 값을 구해봅시다 우리는 예전 영상에서 이 계산법을 증명해 봤습니다 k=0부터 무한대 일 때 그 값은 첫 번째 항 a 곱하기 r의 k제곱 r의 k제곱, 그러니까 공비 r의 절댓값이 1보다 작다고 할 때 (수렴식이 사실이려면 이 조건이 필요합니다) 이 식은 말이죠 분자가 첫 번째항인 a이고 분모가 1 빼기 공비 r인 분수와 값이 같겠죠 이 공식이 익숙하지 않다면 무한등비급수의 합을 찾고 증명하는 과정을 담은 영상을 보기를 추천해요 어쨌든 공식을 여기에 적용했을 때 우리는 계산을 할 수 있어요 등비급수의 첫 번째 항인 8을 여기에 쓰면 분자가 8이고 분모가 1 빼기 1 빼기 공비 1/3인 분수가 됩니다 이 식은 수렴하죠 왜냐하면 공비의 크기인 절댓값 1/3은 1보다 작기 때문이에요 그래서 이 모든 것은 분자가 8이고 분모가 1 빼기 1/3 즉 , 2/3인 분수로 수렴합니다 이 분수는 8 곱하기 3/2와 같으므로 어디 한 번 게산을 해봅시다 8을 2로 나누면 4이고 이 식의 값은 12가 되겠네요 커넥트 번역 봉사단 | 유다연