적분으로 운동 문제 풀기: 변위 vs. 이동거리

이번 동영상에서는 일차원에서 움직이는 물체의 위치에 대해 생각해 보겠습니다 그리고 이를 위해 몇 가지 새로운 개념을 소개할게요 첫 번째 개념은 변위입니다 첫 번째 개념은 변위입니다 위치의 변화를 의미합니다 위치의 변화를 의미합니다 연관되어 있지만 흔히 변위와 혼용되는 개념이 있는데 연관되어 있지만 흔히 변위와 혼용되는 개념이 있는데 이동한 거리입니다 위치의 변화와 무엇이 다르냐고 생각할 수 있는데 곧 보게 될텐데 항상 같은 것은 아닙니다 이동한 거리는 이동경로의 총 길이입니다 이게 무슨 말일까요? 이제 약간의 미적분학이 사용됩니다 이제 약간의 미적분학이 사용됩니다 물체의 속도 함수가 있다고 합시다 시간에 대한 속도 함수가 5 - t와 같다고 해 봅시다 이것은 일차원 속도 함수입니다 가로 방향의 속도를 말해준다고 하죠 가로 방향의 속도를 말해준다고 하죠 보통 일차원의 경우 그것 또한 벡터량이 될 수 있음을 잊는 경우가 있습니다 사실 이 속도는 벡터량입니다 오른쪽으로 움직이면 양수에 해당하고 오른쪽으로 움직이면 양수에 해당하고 왼쪽으로 움직이면 음수라 할 수 있기 때문입니다 따라서 방향이 있습니다 이렇게 벡터량에 화살표를 넣기도 합니다 이렇게 벡터량에 화살표를 넣기도 합니다 이렇게 굵게 표기하기도 하고요 이렇게 굵게 표기하기도 하고요 저는 화살표를 선호합니다 모든 강의에서 그 표기를 사용하지는 않지만요 모든 강의에서 그 표기를 사용하지는 않지만요 이 속도 함수는 어떻게 생겼는지 그려봅시다 제가 이미 그려놓았습니다 여기 볼 수 있듯이 시간은 초단위이고 시간이 0일 때 속도는 m/s입니다 여기는 m/s이고 이 축은 초입니다 정확히 시간이 0일 때 물체는 5m/s로 이동하고 있습니다 오른쪽으로 속도가 +5m/s라고 할 수 있습니다 하지만 일정한 변화율로 감속하고 있네요 따라서 5초 후에 정확히 5초에 물체는 속도가 없습니다 그리고는 음의 속도를 가지기 시작하죠 이는 왼쪽으로 움직이는 것으로 생각할 수 있습니다 이는 왼쪽으로 움직이는 것으로 생각할 수 있습니다 몇 가지를 생각해 봅시다 먼저 처음 5초 동안의 변위를 생각해 봅시다 먼저 처음 5초 동안의 변위를 생각해 봅시다 먼저 처음 5초 동안의 변위를 생각해 봅시다 먼저 처음 5초 동안의 변위를 생각해 봅시다 이미 여러 번 보았듯이 양의 변화를 찾을 땐 변화율 함수의 적분을 구하면 됩니다 속도는 변위의 변화율이라고 생각할 수 있습니다 속도는 변위의 변화율이라고 생각할 수 있습니다 따라서 처음 5초의 변위는 적분을 0에서 5까지 0에서 5까지 속도 함수에 대해 구하면 됩니다 속도 함수에 대해 구하면 됩니다 이렇게요 계산도 빠르게 할 수 있습니다 이건 바로 이 넓이이므로 기하학을 이용해 구할 수 있습니다 5 x 5인 삼각형이니 5 x 5는 25이고 1/2을 곱하면 삼각형의 넓이는 높이와 밑에 1/2을 곱한 것이니까요 그러면 12.5가 나옵니다 m/s에 초(s)를 곱한 것이니 12.5m입니다 이것이 처음 5초 동안의 물체의 위치에 대한 변화량입니다 어디서 시작했던 거기에서 1.25m 오른쪽에 있을 것입니다 양수가 오른쪽이라고 가정하면요 이제 처음 10초 동안엔 어떨까요? 이제 처음 10초 동안엔 어떨까요? 이제 처음 10초 동안엔 어떨까요? 이제 흥미로워집니다 동영상을 멈추고 생각해 보세요 처음 10초 동안의 변위는 무엇일까요? 방금과 똑같이 0부터 10까지 속도 함수의 적분을 구하면 됩니다 0부터 10까지 속도 함수의 적분을 구하면 됩니다 일차원 속도 함수에 dt입니다 여기부터 여기까지의 넓이입니다 여기부터 여기까지의 넓이입니다 여기 전체의 넓이입니다 좋은 점은 정적분을 구할 때 t축 밑에 있고 함수 의에 있다면 이건 음수 넓이입니다 사실 이 넓이와 이 넓이는 정확히 소거됩니다 그리고 0m를 얻습니다 왜 그렇냐고요? 10초 후에 변위가 왜 0m일까요? 이 물체는 계속 움직였습니다 이 상황을 생각해 보세요 처음 5초는 오른쪽으로 움직이며 계속 감속합니다 그렇게 정확히 5초까지 오른쪽으로 12.5m를 갑니다 하지만 속도가 음수가 되기 시작하고 물체가 왼쪽으로 움직이기 시작합니다 그리고 이후 5초 동안 왼쪽으로 12.5m를 갑니다 그리고 이 둘은 소거됩니다 따라서 물체는 10초 동안 오른쪽으로 12.5m 왼쪽으로 12.5m를 갑니다 따라서 위치의 변화는 0m입니다 변하지 않죠 이제 변위와 움직인 거리의 차이가 보이시나요? 변위와 움직인 거리의 차이가 보이시나요? 변위와 움직인 거리의 차이가 보이시나요? 거리는 총 경로의 길이를 말하고 방향이 상관 없을 때입니다 속도를 생각하는 대신 속력을 생각해 봅시다 속력은 이 경우 특이 일차원의 경우에 속도의 절댓값입니다 나중에 여러 차원을 다룰 땐 속도 함수의 크기를 나타내는데 일차원에선 절댓값 함수가 그 역할을 합니다 일차원에선 절댓값 함수가 그 역할을 합니다 일차원에선 절댓값 함수가 그 역할을 합니다 그래프를 그리면 어떻게 될까요? 속도 함수의 절댓값은 이렇게 생겼습니다 속도 함수의 절댓값은 이렇게 생겼습니다 거리를 원한다면 이동 거리를 원한다면 적절한 시간의 구간에서 이 속력 함수의 적분을 구하면 됩니다 이 그래프 말이죠 이동한 거리를 원한다면 적어 보겠습니다 처음 5초 동안 이동한 거리는 처음 5초 동안 이동한 거리는 처음 5초 동안 이동한 거리는 얼마일까요? 0에서 5까지 속도 함수의 절댓값의 적분입니다 속력 함수라고 생각할 수도 있습니다 dt도 붙여줍니다 이 넓이입니다 이미 12.5m라고 구했죠 따라서 처음 5초 동안 거리와 변위는 동일합니다 그 이유는 이 경우에 속도 함수가 양수이고 절댓값도 양수이기 때문입니다 하지만 처음 10초를 생각하면 거리는 10초 동안 얼마일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보세요 0부터 10까지 속도 함수의 절댓값의 적분입니다 이건 얼마일까요? 이 넓이와 이 넓이를 더한 값입니다 이 넓이를 더한 값입니다 5 · 5 · 1/2 + 5 · 5 · 1/2입니다 5 · 5 · 1/2 + 5 · 5 · 1/2입니다 25가 나옵니다 물체는 오른쪽으로 12.5m로 가고 다시 왼쪽으로 12.5m를 갑니다 변위, 그러니까 위치의 총 변화량은 0이지만 총 이동한 경로의 길이는 25m입니다 총 이동한 경로의 길이는 25m입니다