곡선과 x축 사이의 넓이

함수 f(x)=x^2가 있다고 합시다 제가 하고자 하는 것은 곡선의 아래 부분의 면적을 구하는 것입니다 y=f(x)란 곡선 말이죠, 이것이 제 y축이고 이것이 제 x축입니다 이제 함수를 그려 봅시다 제 함수는 이렇게 생겼을 겁니다 적어도 1사분면에선 이렇죠 지금 그리고자 하는 그래프입니다 저는 확실히 이 그래프를 2사분면에도 그릴 수 있습니다 하지만 제가 신경쓰는 곳은 이 곡선의 아래와 양의 x축의 윗부분입니다 x=1에서부터 x=4까지 말이죠 그리고 이젠 넓이를 '근사'시키긴 질렸습니다 저는 이 영역(곡선 아래, x축 위)의 정확한 넓이를 구하고자 합니다 이 갈색으로 색칠한 영역의 넓이를 표현하기 위해서, 우리는 정적분을 이용합니다 1부터 4까지 f(x)를 정적분, dx 그리고 이 표현이 어디서 나온 것인지 개념화하는 방법은 무한히 많은, 무한히 얇은 직사각형들을 이 넓이를 구하기 위해 모두 더하는 것입니다 무한히 얇은 직사각형을 하나 그려뵤죠, 그다지 무한히 얇지는 않겠지만요 이렇게 한 번 그려봅시다 이제 이건 하나의 직사각형이 될 것이고, 이건 또 다른 직사각형이 되겠죠 이건 리만 합을 연상시키네요 실제로, 이것은 리만 합이 나오게 된 방법입니다 무한히 많은 직사각형들의 리만 합을 생각해보세요 각각의 직사각형들의 너비는 제가 개념화한 방법이지만, 이건 dx입니다, 그리고 각각의 직사각형의 높이는 여기 있는 x값의 함수값으로 결정됩니다 따라서, 이 오른쪽 부분은 직사각형 하나의 넓이를 의미하고, 이제 우리는 그들을 전부 더하는 겁니다 그리고 이 s를 길게 늘인듯한 것은 덧셈의 시그마 기호를 연상되게 하죠 우린 무한히 많은 수들, 저 무한히 얇은 직사각형들을 더하려 하고 또는 저 1과 4사이의 무한히 얇은 직사각형들의 넓이를 더하려 한다고 할 수 있습니다 이것이 정적분 표현이 나오게 된 배경입니다 하지만 우린 아직 아무것도 하지 않았죠 우린 그저 식을 적어보았을 뿐입니다 1에서 4 사이의, f(x) 아래의, 그리고 x축 위의 넓의를 의미하는 식을 말이죠 이를 통해 확실히 생산적인 작업을 하려면, 우리는 미적분학의 두 번째 기본 정리를 알아야 합니다, 때때로 미적분학의 제 2 기본 정리로 불리기도 하죠 그것이 말하는 것은, 만약 f(x)의 원시함수(미분하기 전의 함수)가 있다고 한다면, 다시 말해 f(x)의 원시함수가 존재한다면, f(x)는 어떤 함수 F(x)를 미분한 함수란 의미고, 이는 다르게 말하면 F(x)는 f(x)의 원시함수란 뜻입니다. 그럼 전 이것을 다시 계산할 수 있습니다 그리고 이것이 옳다는 것을 우리는 지금까지 개념적으로 이해했습니다 우린 이걸 f의 원시함수에 4를 대입해 계산한 값에서 원시함수에 1을 대입한 값을 빼는 것으로 계산할 수 있습니다 이제 이 특정한 경우에 대해 해보도록 합시다 이 식을 다시 한 번 써보도록 합시다 f(x)라고 쓰는 대신 x^2이라고 써보겠습니다 1부터 4까지 x^2 dx의 정적분 그럼 우선 원시함수가 무엇인지부터 구해야 하겠죠 만약 f(x)=x^2이라면, F(x)는 무엇일까요? 원시함수는 무엇이 될까요? 여러분이 다항식의 미적분을 기억하고 계시다면, x^3을 x에 대해서 미분하면 3x^2가 나온다는 것을 알 수 있을 것이고, 이는 계수 3을 제외하면 x^2에 가깝다고 할 수 있죠 그러므로 양변을 3으로 나눠주도록 합시다 양변을 3으로 나누면, x^3을 미분한 뒤 3으로 나눈 결과가 x^2과 같다는 결과를 얻을 수 있습니다 또는 이것은 x^3/3을 x에 대해 미분한 것과 같다고 할 수 있습니다 이 값(x^3/3)을 미분해보세요 계수는 3 X 1/3이 될 것이고 지수를 한 단계 낮추면 이건 x^2이 될 것입니다 다시 쓰자면 이 결과는 x^2이죠 그저 x^2과 같습니다 따라서 이 경우(f(x)=x^2)에는 F(x), 원시함수가 x^3/3이란 것을 알 수 있습니다 우린 이것을 4와 1에 대해서 계산해야하고, 때때로 우리는 이런 표현을 사용하기도 합니다. 적분한 함수가 x^3/3이고 우린 이것을 계산하려고 하죠 전 그저 숫자들을 여기에 써넣곤 합니다 위쪽엔 4, 그리고 거기서 빼는 값 1 아니면 여러분은 여기에 작은 선을 그리는 사람을 볼 수도 있습니다 우린 이걸 4와 1에서 계산한다고 합니다 하지만 전 선 없이 하겠습니다 만약 우리가 4에서 계산하고 거기서 1에서 계산한 값을 뺀다면 4^3는 64이므로 64/3이 될 것이고 색으로 강조해봅시다, 이 부분(64/3)은 이것(F(4))와 같습니다 그리고 거기에서부터 1에 대해 계산한 값을 빼도록 합시다 여러분이 1에 대해 계산한다면, 그 결과는 1/3이 되겠죠 1/3 명확하게 하기 위해서, 이 부분(1/3)은 이 부분(F(1))과 같습니다 이제 우리는 이 분수들을 계산할 준비가 되었습니다 64/3 - 1/3은 63/3과 같습니다 그리고 63/3은 확실히 21과 같습니다 따라서, 단위에 상관 없이, 이 갈색 영역의 면적은 21개의 정사각형과 같다고 할 수 있습니다.