예제: 곡선 사이의 넓이

이번에 미적분학의 힘을 이용해 할 것은 이번에 미적분학의 힘을 이용해 할 것은 이 노란색 영역의 넓이를 구하는 것입니다 그리고 늘 그랬듯이 동영상을 멈추고 스스로 문제를 풀어보세요 여기서 찾을 수 있는 중요한 열쇠는 이 넓이가 곡선 사이에 있다는 것입니다 정적분이 유용할 수 있겠죠 그러니 정적분 기호를 적어 놓겠습니다 먼저 영역의 왼쪽과 오른쪽 경계를 생각해야 합니다 먼저 영역의 왼쪽과 오른쪽 경계를 생각해야 합니다 왼쪽 경계는 여기에 두 그래프가 교차하는 점이고 오른쪽 경계는 여기에 두 그래프가 교차하는 점입니다 그려면 교차점은 무엇일까요? (-1, -2)같아 보입니다 이를 확인해 봅시다 이 빨간색 곡선에서 x가 -1이면 제곱해서 1 - 3입니다 y = -2가 맞네요 그리고 이 파란색 함수는 x = -1일 때 1- 4 + 1이니까 역시 여기도 y = -2가 맞습니다 x = 1인 경우에도 똑같습니다 x = 1인 경우에도 똑같습니다 1 - 3은 -2 1 - 4 + 1은 -2죠 따라서 경계는 x = -1에서 x = 1까지입니다 이제 상한과 하한을 생각해 봅시다 이 구간동안 이 파란색 그래프가 상한입니다 따라서 상한에서 하한을 빼면 됩니다 따라서 상한에서 하한을 빼면 됩니다 x⁴ - 4x² + 1에서 x⁴ - 4x² + 1에서 (x² - 3)를 빼고 dx를 붙여줍니다 왜 이렇게 하는지 다른 동영상에서 많이 알아보았죠 왜 이렇게 하는지 다른 동영상에서 많이 알아보았죠 둘 사이의 넓이를 구할 때 왜 상한을 하한에서 빼는 것이 말이 되는지 말이죠 왜 상한을 하한에서 빼는 것이 말이 되는지 말이죠 이제 이 정적분을 계산하기만 하면 됩니다 그럼 해 보겠습니다 좋습니다 -1부터 1까지의 적분이고 x⁴에 -4x²이 있고 이 음수 부호를 배분하면 x²을 또 빼는 것이 됩니다 따라서 -5x²이 됩니다 그리고 +1이 있고 -3을 빼야 합니다 1 + 3이니까 4를 더하고 dx도 붙여 줍니다 확실하게 하려면 여기에 괄호를 넣어야 하겠네요 이 전체 방정식에 dx를 곱하는 것이니까요 이 전체 방정식에 dx를 곱하는 것이니까요 이것의 부정적분을 구해 봅시다 꽤 간단하겠네요 여러 변 멱의 법칙을 역으로 사용하면 됩니다 그러면 x⁴의 부정적분은 x⁵/5입니다 그러면 x⁴의 부정적분은 x⁵/5입니다 지수를 1 크게하고 증가한 지수로 전체를 나눈 것이죠 그 다음도 같습니다 - 5x³/3 + 4x입니다 - 5x³/3 + 4x입니다 그리고 이것을 1에서 계산하고 거기에서 -1에서 계산한 것을 빼면 됩니다 먼저 1에서 계산해 봅시다 1/5 - 5/3 + 4가 나옵니다 1/5 - 5/3 + 4가 나옵니다 이제 -1에서 계산해 봅시다 여기 음수 부호를 쓰고 -1이면 이건 -1/5 이고 이건 +5/3입니다 이건 -4이고요 그런 다음 음수 부호를 배분하면 이걸 이렇게 모든 항에 배분하면 이걸 이렇게 모든 항에 배분하면 이건 +가 되고 이건 +가 되고 이건 -가 되고 이건 +가 됩니다 그러면 1/5과 1/5이 있으니 2/5가 됩니다 이것과 이것이고 -5/3과 -5/3이 있습니다 따라서 -10/3이 됩니다 그리고 4 + 4이니까 +8입니다 그러면 이걸 간단히 하기만 하면 됩니다 봅시다 이건 이건 8이고 이 둘은 15를 분모로 하겠습니다 이 둘은 15를 분모로 하겠습니다 3과 5의 공통 분모가 15이니까요 2/5는 6/15입니다 5 x 3은 15고 2 x 3은 6이죠 그리고 10/3은 봅시다 분모를 5로 곱했으니까 분자도 5로 곱하면 50/15이 됩니다 그러면 6/15 - 50/15는 얼마인가요? 6 - 50은 44이니 8 - 44/15가 됩니다 6 - 50은 44이니 8 - 44/15가 됩니다 6 - 50은 44이니 8 - 44/15가 됩니다 44/15는 얼마인가요? 44/15는 2와 14/15입니다 이것을 빼야 합니다 2와 14/15를 빼면 여기에서 2를 빼서 6 - 14/15가 됩니다 아직 14/15를 빼야 하죠 6 - 14/15는 5와 1/15입니다 이렇게 넓이를 구했습니다 이렇게 넓이를 구했습니다