예시: 변화의 누적

어떤 사람이 욕조에 물이 새고 있다는 것을 알아차리기까지 20분이 걸렸습니다 그는 그걸 깨닫고 난 후에 욕조의 배수구 뚜껑을 열었고 나머지 물은 40분 안에 흘러 내려갔습니다 욕조로부터 물이 빠져나간 속도가 나타나 있습니다 1분당 빠져나간 갤런을 나타냅니다 물이 새기 전에 몇 갤런의 물이 욕조안에 있었을까요? 표를 봅시다 시간이 표시되어 있습니다 분당 갤런(갤런/분)과 시간이 표시되어 있네요 파란색 선을 봅시다 욕조로부터 물이 빠져나간 속도입니다 욕조로부터 물이 빠져나간 속도입니다 시간이 0분일 때 물은 하나도 빠지고 있지 않습니다 이후에는 더 많은 물이 빠지고 물이 빠지는 속도도 빨라졌습니다 10분이 지나자 1분당 1갤런의 속도로 물이 빠지고 있었고 20분이 지나자 1분당 2갤런의 속도로 물이 빠지고 있었습니다 그리고 그가 그 사실을 깨닫고 배수구 뚜껑을 열었습니다 그가 욕조를 빨리 비우고 싶었나봐요 그가 배수구 뚜껑을 열었고 갑자기 물이 훨씬 빠른 속도로 20갤런/분의 속도로 빠지기 시작합니다 그런데 이후에는 속도가 감소합니다 물리학적으로 왜 그랬는지 생각해보면 압력이 더 낮다거나 그럴 수 있겠죠 물리를 알아볼 것은 아닙니다 하지만 이 표를 단순히 사실로서 받아들일 겁니다 그런데 물이 빠지는 속도는 60분까지 줄어듭니다 그가 배수구 뚜껑을 열고 40분이 지난 것입니다 60분 후에 모든 물이 빠져 나갔습니다 모든 물이 실제로 빠져 나갔습니다 주어진 자료를 보고 물이 새기 전 욕조에 몇 갤런의 물이 있었는지 어떻게 알 수 있을까요? 영상을 잠시 멈추고 시도해 보시기 바랍니다 제가 한 번 해보기 전에 알아낼 수 있는지 말입니다 욕조가 새기 전에 몇 갤런의 물이 있었을까? 이 문제에 답하는 것은 총 얼마나 많은 양의 물이 빠져 나갔는지 알아내는 것과 같습니다 그래서 얼마일까요? 얼마나 빠져 나갔을까요? 이걸 생각해보려면 우리가 미적분을 배우기 전에 알던 것으로 돌아가면 됩니다 만약 고정된 속도로 발생하는 무언가가 존재한다면 여기를 갤런/분이라고 합시다 같은 맥락에서 여기는 분(시간)이라고 합시다 그리고 물이 일정한 속도로 빠진다고 합시다 특정 시간 동안 얼마나 많은 물이 빠져 나갔는지 알아내려면 이 정도 간격이라고 합시다 델타T 동안이라고 합시다 단순히 속도와 시간의 간격을 곱하면 됩니다 단순히 속도와 시간의 간격을 곱하면 됩니다 여기 오렌지 색으로 나타난 높이와 흘러간 시간을 곱하는 것입니다 그러면 이러한 영역이 나옵니다 그 간격 동안의 직선 아래의 영역입니다 그 간격에서의 직선 아래의 영역입니다 이 영역은 델타T 동안 몇 갤런의 물이 빠져 나갔는지를 알려줍니다 이것은 일정한 속도에서만 적용되는 것이 아닙니다 일정한 속도를 지닐 때 속도가 이런 식으로 다른 영상에서 봤던 것처럼 보인다면 얼마나 많은 물이 빠져 나갔는지 특정 시간 동안 얼마나 많은 물이 빠져 나갔는지를 구할 수 있습니다 이 정도의 간격이라고 합시다 바로 여기요 곱하기를 이용해서 그 시간 동안의 직선 아래의 영역을 구해서 그 시간 동안의 직선 아래의 영역을 구해서 물의 양을 구할 수 있습니다 단위도 알 수 있습니다 갤런/분과 분을 곱한다면 이 영역은 갤런의 영역이 될 것입니다 이 영역 또한 갤런에 관한 영역이 될 것입니다 다른 방법으로 생각해보면 이 부분의 사다리꼴의 영역은 어떻게 구할 수 있을까요? 사다리꼴의 영역을 구하려면 삼각형의 높이를 찾아냅니다 시작점과 끝점의 평균이 되겠습니다 여기 있는 평균값을 이용합니다 이러한 선분으로 나타낼 수 있겠죠 시간의 변화와 평균 높이를 곱하면 실제로 값을 구할 수 있습니다 이 영역의 넓이를 구하는 것입니다 다른 방법으로 생각해 본 것입니다 또 다른 방법은 평균 속도를 구하는 것입니다 시간이 변하는 동안의 평균 속도를 구합니다 그러면 총 몇 갤런의 물인지 구할 수 있을 것입니다 그러면 이 발상을 이 문제에 적용해서 직선 아래의 넓이만 구하면 됩니다 물이 새거나 빠지는 전체 시간 동안의 넓이를 구하는 것입니다 그래서 본질적으로는 0분부터 60분까지의 영역의 넓이를 구하면 됩니다 이 영역이 되겠네요 자홍색으로 칠하겠습니다 여기에 이 부분도 더하겠습니다 생각을 돕기 위해 구역을 나누고 삼각형 구역을 나누겠습니다 그러면 삼각형 구역이 나오게 됩니다 사다리꼴로 생각할 수 있겠지만 저는 삼각형과 직사각형으로 나눴습니다 그러면 저는 이 녹색의 영역을 가지게 됩니다 그래서 이 전체의 넓이는 얼마입니까? 여기서는 20갤런/분의 속도니까 20 죄송합니다 분당 20갤런이 아니라 20분이네요 20분 x 2갤런/분 2갤런/분 x 1/2 분당 2갤런 x 1/2 그러면 이 삼각형의 넓이가 나옵니다 20갤런이 되겠네요 단위가 잘 산출되는 것을 볼 수 있습니다 이것이 처음 20분동안 실질적으로 빠져나간 물의 양입니다 이 초록색 영역은 40분 x 10갤런/분 단위를 구하자면 아마도 제가 이상한 방식으로 나누고 있기 때문에 그냥 곱하겠습니다 그냥 이것만 계산할게요 이 구역은 40 x 10 = 400 마지막으로 파란색 영역은 40 곱하기 높이는 여기 10과 20 사이이고 10 입니다 그리고 1/2을 곱하겠습니다 그러면 40 x 10 x 1/2 = 200 이것들을 모두 더하면 400 + 200 = 600 600 + 20 620갤런이 나옵니다 620갤런입니다 갤런이에요 이것이 빠져나간 전체 물의 양입니다 아니면 물이 새기 전 통에 담겨있던 물의 양입니다 문제에는 욕조라고 되어 있네요 그냥 통에 담기엔 좀 많긴 합니다 거품 욕조나 온수 욕조나 뭐 그런 것이겠죠