If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용

누적함수의 성질 파악하기

"미적분학에 기초한 추론"을 적용하여 원래 함수에 대한 정보를 사용하여 이 함수의 역도함수의 성질을 정당화 시켜 보세요.
미분학에선 도함수 f에 대한 정보를 기반으로 함수 f의 성질에 대해 생각해 보았습니다. 적분학에선 함수와 도함수를 고려하는 대신 함수와 그 부정적분에 대해 생각해 보겠습니다.

g=f의 그래프에서 g에 대해 생각해보기

다음이 함수 f의 그래프입니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. x축은 -2부터 14까지입니다. 그래프는 U 모양의 곡선으로 아래로 열려 있습니다. 곡선은 제3사분면에서 시작해 위로 (0, 0)을 지나 (5, 5)에 있는 극대까지 가고, 아래로 내려가 (10, 0)을 지나 제4사분면에서 끝납니다.
g(x)=0xf(t)dt라고 해 봅시다. 이렇게 정의하면 gf의 부정적분입니다. 미분학에선 이것을 g=f라고 씁니다. fg의 도함수이므로 미분학에서 했던 것처럼 g의 성질을 유추해 볼 수 있습니다.
예를 들어 f는 구간 [0,10]에서 양수이므로 g는 그 구간에서 증가해야만 합니다.
함수 f의 그래프는 x절편 0과 10 사이에 x축 위의 곡선 아래 영역을 가지고, f는 양수, g는 증가합니다.
또한 fx=10에서 부호를 바꿉니다. 따라서 g는 극값을 여기에 가져야 합니다. f가 양수에서 음수로 가므로, 이 점은 극대여야만 합니다.
함수 f의 그래프는 x절편을 10에 가지고, 여기에는 "g가 극소를 가진다"고 써 있습니다. x축 아래 곡선의 두 영역이 있고, 이는 x절편 0의 왼쪽과 x절편 10의 오른쪽에 있고, "f는 음수, g는 감소한다"고 써 있습니다.
위의 예제에선 g가 증가하고 감소하는 것과 극값에 대해 생각해 볼 수 있었습니다. g의 오목함에 대해 생각해 볼 수도 있습니다. f가 구간 [2,5]에서 증가하고 있기 때문에 g가 그 구간에서 아래로 볼록함을 알 수 있습니다. 또한 f가 구간 [5,13]에서 감소하기 때문에 g는 그 구간에서 위로 볼록하다는 것을 알 수 있습니다. g는 오목함을 x=5에서 바꾸기 때문에 변곡점이 여기에 있습니다.
함수 f의 그래프는 g라고 표시되어 있는 극대가 있고, 변곡점도 가집니다. 이 극대의 왼쪽에 있는 곡선의 영역은 f라고 표시되어 있고 증가하며, g는 아래로 볼록합니다. 이 극대의 오른쪽에 있는 곡선의 영역은 f라고 표시되어 있고 감소하며, g는 위로 볼록합니다.
연습문제 1
이것이 f의 그래프입니다.
g(x)=0xf(t)dt라고 합시다.
g가 구간 (5,10)에서 아래로 볼록하다는 것에 대한 올바른 미적분학적 근거는 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
이것이 f의 그래프입니다.
g(x)=0xf(t)dt라고 합시다.
gx=8에 극대를 가진다는 사실에 알맞은 미적분학에 근거한 이유는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.
함수의 어떤 속성이 부정적분의 어떤 속성과 연관되어 있는지 헷갈리지 않는 것이 중요합니다. 많은 학생들이 함수가 증가하므로 부정적분이 양수라고 하는 것처럼 그 관계를 헷갈리는 경우가 많습니다(사실 그 반대입니다).
아래는 함수와 부정적분의 성질의 모든 관계를 정리한 표입니다.
함수 f 가...부정적분 g=axf(t)dt는...
양수 +증가
음수 감소
증가 아래로 볼록
감소 위로 볼록
부호 변경 / x축을 지남최댓값
최댓값변곡점
심화문제
이것이 f의 그래프입니다.
g(x)=0xf(t)dt라고 합시다.
g가 구간 [7,12]에서 양수리는 사실에 대한 올바른 미적분학적 근거는 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요: