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주요 내용

변화의 누적에 대해 탐색해보기

정적분은 양의 누적으로 해석됩니다. 왜 이렇게 해석되는지, 실생활 문제에서는 어떻게 분석되는지 알아봅시다.
정적분은 어떤 상황에서 누적된 총 변화량에 대한 정보를 나타냅니다. 어떻게 하는지 살펴봅시다.

실생활의 문맥에서 누적에 대해 생각해 보기

어떤 물탱크에 물을 5 L/분의 일정한 변화율로 6 동안 채웠다고 해 봅시다. 물의 부피(L)는 시간과 변화율을 곱해서 구할 수 있습니다.
부피=시간×변화율=65L=30L=30L
이제 이 경우를 그래프로 확인해 봅시다. 변화율은 상수 함수 r1(t)=5로 나타낼 수 있습니다:
함수 r_1의 그래프가 있습니다. 시간은 분 단위이며 x축이고, 0부터 10까지입니다. 변화율은 L/분 이고 y축입니다. 그래프는 선입니다. 선은 (0, 5)에서 시작해 평행히 오른쪽으로 가서 (10, 5)에서 끝납니다.
이 그래프에서 각 수평 단위는 분 단위이고, 수직 단위는 L/분이므로 각 모눈의 단위는 L입니다:
너비L높이=L넓이
이 정사각형은 그래프에서 모눈 하나를 의미합니다. 가로 너비는 분이고, 세로 높이는 L/분 입니다. 넓이는 L입니다. 넓이를 계산하는 방정식은 너비 x 높이 = 넓이, 혹은 분 x L/분 = L입니다.
추가적으로 r1의 그래프와 t=0에서 t=6까지 수평축이 가두는 직사각형의 넓이는 6분 후 물의 부피를 나타냅니다.
함수 r_1의 그래프가 있습니다. 선 아래 직사각형 모양의 넓이가 색칠되어 있습니다. 넓이는 0부터 6분까지이며 0부터 5L/분 까지입니다 . 직사각형의 넓이는 분 5L/분 = 30L입니다.
이제 다른 물탱크를 일정하지 않은 변화율로 채운다고 해 봅시다.
r2(t)=6sin(0.3t)
함수 r_2의 그래프가 있습니다. 시간은 분 단위이며 x축이고, 0부터 10까지입니다. 변화율은 L/분 이고 y축입니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 (0, 0)에서 시작해 위로 볼록하게 위로 올라가 (5.2, 6) 정도까지 가고, 위로 볼록하게 아래로 내려가 (10, 0.8) 정도에서 끝납니다.
물탱크에 있는 물의 부피가 6분 후에 얼마인지 어떻게 알 수 있을까요? 이를 위해 t=0부터 t=6까지 이 곡선 아래 넓이의 리만합 근삿값을 생각해 봅시다. 편의를 위해 각 직사각형의 너비가 1분인 경우의 근삿값을 구해 봅시다.
이전 함수 r_2의 그래프가 있습니다. 여섯 개의 직사각형 막대가 있고, 각각 너비가 1, 1분을 나타내며 0분에서 6분 동안 수평축에서 수직으로 곡선까지 자랍니다. 각 막대는 위로 올라가 오른쪽 꼭짓점에서 곡선과 만납니다. 0부터 5까지 다섯 개의 직사각형의 왼쪽 위의 꼭짓점은 곡선 밖에 있습니다. 각 직사각형은 이전 것보다 곡선 밖에 있는 정도가 적어집니다. 여섯째는 완전히 곡선 안에 있습니다. 왼쪽에서 오른쪽까지 직사각형의 어림한 높이는 다음과 같습니다. 1.8, 3.4, 4.7, 5.6, 6, 5.9.
각 직사각형이 부피를 L로 나타냄을 보았습니다. 특히 이 리만합에서 각 직사각형은 매 분마다 물탱크에 추가된 물의 부피를 근사합니다. 이 넓이를 모두 더하면, 그러니까 모든 부피가 누적되면, 6분 후의 총 부피의 근삿값을 구할 수 있습니다.
더 좋은 너비의 직사각형을 더 많이 사용할수록 더 정확한 근삿값이 나옵니다. 여기서 무한히 많은 직사각형을 누적하는 극한을 구하면 정적분 06r2(t)dt가 됩니다. 이는 6분 후의 정확한 물의 부피는 r2의 그래프와 t=0에서 t=6까지 수평축이 가두는 넓이와 같습니다.
함수 r_2의 그래프가 있습니다. 곡선과 t축 사이의 넓이가 t = 1에서 t = 6까지 색칠되어 있습니다.
또한 적분학을 사용하면 6분 후 총 부피를 구할 수 있습니다:
06r2(t)dt24.5L

어떤 양의 변화율의 정적분은 그 양의 총 변화량을 나타냅니다.

이 예제에서 보았듯, 변화율을 나타내는 함수가 있었습니다. 이 경우 변화율은 시간에 따른 부피의 변화였습니다. 그 함수의 정적분은 변화율이 의미하던 양의 부피의 누적된 양을 나타냅니다.
다른 중요한 점은 정적분의 시간 구간입니다. 위의 경우 시간 구간은 시작 (t=0)에서 6분 후(t=6)입니다. 따라서 정적분은 t=0에서 t=6 사이 물탱크의 물의 양의 총 변화량을 나타냅니다.
이 둘은 사람들이 흔히 정적분에 대해 생각하는 방식을 나타냅니다: 정적분은 어떤 양의 누적을 나타내고, 따라서 전체 정적분은 그 양의 총 변화량을 나타냅니다.

왜 단순한 양이 아니라 "총 변화량*일까요?

위의 예제를 이용하면 t=0 전에 물탱크 안의 물의 양이 어떤지는 알려주지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 물탱크가 비었었다면 06r2(t)dt24.5L6분 후의 물의 양이 맞습니다. 하지만 이미 물이 있었다면, 예를 들어 7L가 미리 들어 있었다면 6분 후의 물의 양은:
7t=0의 부피+06r2(t)dtt=0부터 t=6까지 부피의 변화
이는 약 7+24.5=31.5 L입니다.
기억하세요: 정적분은 항상 실제 양이 아니라 양의 총 변화량을 나타냅니다. 실제 양을 구하기 위해서는 정적분에 초기 조건을 더해야 합니다.
문제 1.A
연습문제 1에서는 누적을 다루는 문맥을 분석하는 과정을 다룹니다:
시간 t에서 세균의 개체수는 r(t)g/일의 속도로 자라고 t의 단위는 일입니다.
함수 r의 그래프가 있습니다. x축은 지난 일수를 나타내며 0에서 10까지입니다. 성장율은 g/일이고, y축입니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 (0, 1)에서 시작해 아래로 볼록하게 위로 올라가 (8, 5)를 지나 (10, 7.3) 정도에서 끝납니다. 곡선과 x축 사이의 넓이가 t = 0부터 t = 8까지 색칠되어 있습니다.
정적분 08r(t)dt가 나타내는 양의 단위는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 잘못된 단위 사용

모든 문장제 문제에서 그렇듯 단위가 중요한 역할을 합니다. 만약 r양 A양 B 단위의 변화율 함수라고 한다면, 그 정적분의 단위는 양 A입니다.
예를 들어 연습문제 1에서, r의 단위는 g이었으므로, r의 정적분의 단위는 g입니다.
연습문제 2
이든은 r(t)km/시간 의 속도로 걸었습니다(t의 단위는 시간입니다).
23r(t)dt=6은 무슨 의미일까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 적분의 구간 잘못 해석하기

모든 변화율 함수 r에 대해 정적분 abr(t)dtt=at=b 사이에 값의 누적을 나타냅니다.
흔한 실수는 경계 하나를 잊어서(보통 하한을) 틀린 해석이 나오는 것입니다.
예를 들어 문제 2에서 23r(t)dt를 이든이 3시간 동안 걸은 거리라고 해석하는 실수가 있을 수 있습니다. 하한은 2이고, 따라서23r(t)dt는 이든이 2시간과 3시간 사이에 걸은 걸이입니다 그리고 또 이렇게 시간 구간이 1인 경우, 보통 "3시간째에"라고 합니다.
연습문제 3
줄리아의 수입은 매달 r(t)달러입니다(t의 단위는 월입니다). 줄리아는 일년의 첫 달에 3달러를 벌었습니다.
3+15r(t)dt=19은 무슨 의미일까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 초기 조건의 잘못된 사용

변화율 함수 f와 그 부정적분 F에 대해 정적분 abf(t)dtt=a에서 t=b 사이 F의 총 변화량을 나타냅니다. 초기 조건을 더하면 실제 F의 값을 얻을 수 있습니다.
예를 들어 문제3에서 15r(t)dt는 줄리아가 1째 달과 5째 달 사이에 번 돈의 변화를 나타냅니다. 하지만 줄리아가 1째 달에 가지고 있던 돈인 3을 더했기 때문에 방정식은 이제 5째 달에 실제 가지고 있는 돈을 나타냅니다.

응용된 변화율의 변화와의 연결

미분학에서 함수 f의 도함수 f는 주어진 대입값에 대해 f의 순간변화율을 나타냅니다. 이제 그 반대로 가는 것입니다! 모든 변화율 함수 f에 대해 부정적분 Ff의 변화율이 나타내는 어떤 양의 누적을 나타냅니다.
변화율
미분학f(x)f(x)
적분학F(x)=axf(t)dtf(x)
연습문제 4
함수 k(t)는 소스 공장에서 어떤 날에 t시간까지 생산한 케첩의 양(kg)을 나타냅니다.
04k(t)dt는 무엇을 나타내나요?
정답을 한 개 고르세요:

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