적분하기 전에 다시 써보기: 심화 문제

이 동영상에서 우리의 목적은 어렵게 생긴 식의 이 동영상에서 우리의 목적은 어렵게 생긴 식의 역도함수를 구하는 것입니다 다른 식으로 말하자면 이 어려운 식의 부정적분을 구하는 것이죠 이 식에서 중요하게 볼 점은 이 식은 많은 항의 합으로 이뤄졌고 이 전체 식의 부정적분은 각 항의 부정적분을 더한 것과 같을 것이란 점입니다 그래서 이 식을 풀자면 다음 항에 부정적분을 취하면 ∫ 7x³ dx가 됩니다 그리고 그다음 항의 부정적분을 빼면 되겠죠 즉 다음과 같이 -∫ 5√x dx 라고 씁니다 그리고 다음 항을 보면 다음과 같이 쓸 수 있겠죠 ∫ 18√x ÷ x³ dx 쓸 색깔이 부족하네요 더 많은 색이 필요하게 됐군요 마지막 항의 역도함수를 구하면 ∫ x^(-40) dx가 됩니다 그래서 지금까지 원래 식과 이 색칠된 식을 써봤으니 이제 각 항의 역도함수를 구해봅시다 이를 구하기 위해선 멱함수의 부정적분을 구하는 방법을 사용해야 합니다 멱함수의 부정적분을 구하는 방법을 사용해야 합니다 멱함수의 부정적분을 구하는 방법을 사용해야 합니다 자 이제 첫 번째 항을 봅시다 그래서 제가 이제 할 것은 상수가 없는 역도함수를 찾은 후 그냥 그 뒤에 상수를 붙이는 겁니다 가장 일반적인 역도함수를 구하기 위해서요 우리가 가장 일반적인 역도함수를 구한다는 것을 알아두세요 이 항의 차수는 3입니다 이 차수에 1을 더하면 x⁴이 되겠죠 이것과 같은 색인 분홍색으로 씁시다 그러면 x⁴이 있으므로 이것을 4로 나눕니다 그러니까 x⁴/4이 x³의 역도함수가 되겠군요 그리고 이 앞에는 상수 7이 있네요 이것도 그냥 앞에다가 써주면 7x⁴/4가 되겠네요 좋아요 그다음은 이것의 역도함수를 여기서 뺄 겁니다 맨 처음에는 여기서 멱함수의 부정적분을 구하는 방법을 쓸 수 있다는 것이 잘 안 보일겁니다 여기서 눈치채야 할 것은 5√x는 5x^(1/2)과 같다는 것입니다 다시 한번 해봅시다 지수 1/2에 1을 더하면 x^(3/2)이 될 것입니다 그리고 증가한 지수를 나누면 3/2을 나누게 되겠죠 그리고 x 앞에 5가 상수로 있으므로 여기에도 앞에 5가 있어야겠군요 다음 항은 더 이상하게 생겼네요 이것 역시 단순화할 수 있죠 이 위에서 써보도록 합시다 이것은 18x^(1/2) 곱하기 x^(-3)과 같은 겁니다 분모에 있는 x³은 x^(-3)과 같죠 이들의 밑이 같으므로 각 지수를 더해주기만 하면 됩니다 그러면 이것은 18x^(2½)과 같게 됩니다 다르게 생각해보자면 이것은 18x^(5/2)과 같은 거죠 이것은 18x^(5/2)과 같은 거죠 제가 제대로 했나요? 제가 제대로 했나요? 마이너스 3 아 미안해요 이게 -2½ 이네요 분명히 할게요 그리고 이건 x의 -5/2의 제곱이 되겠네요 x^(-3)은 x(-6/2)과 같고 -6/2에 1/2을 더하면 -5/2죠 그래서 아까처럼 다시 해본다면 이 지수를 1만큼 증가시킵니다 -5/2에서 1을 더하면 -3/2이 되겠죠 그러면 x^(-3/2)이 되고 그다음 증가된 지수로 항을 나눕시다 즉 -3/2으로 나누는 거죠 그다음 그 앞에 18을 쓰고요 당연히 이건 단순하게 만들 겁니다 마지막으로 이 항의 지수를 보자면 이제 보라색은 그만 씁시다 이 항의 지수는 -40이군요 여기서 1을 증가시키면 x^(-39)이 됩니다 여기에 -39를 나눠주고요 이제 이 뒤에 상수 C를 더합니다 이제 남은 것은 이 식을 정리하는 겁니다 첫 항은 이미 꽤 정리되어있네요 이건 7/4 x⁴ 이라고 쓸 수 있습니다 그리고 그 옆 항의 계수는 -5를 3/2으로 나눈 겁니다 5 나누기 3/2은 5 곱하기 2/3와 같으므로 즉 10/3이 됩니다 그러면 이는 -10/3x^(3/2) 이 됩니다 그다음 항은 아주 더럽네요 18을 -3/2으로 나누는 것은 18과 -2/3를 곱하는 것과 같죠 이를 조금 더 단순히 하면 이건 6 곱하기 -2와 같네요 즉 이는 -12가 됩니다 이 표현을 다시 써보면 12x^(-3/2)이 되겠군요 그리고 마지막으로 이 항은 글쎄요 다시 쓰길 원한다면 -1/39x^(-39) 로 쓸 수 있겠네요 뒤에 상수 C를 더하고요 이제 다 끝났습니다 이 복잡한 식의 부정적분을 구했어요 이제 여러분이 이 식의 도함수를 구해보는 건 어떨까요 이것의 도함수를 구하려면 그냥 멱함수의 미분법을 쓰면 됩니다 그 값과 위에 있는 역도함수를 구하려던 식과 서로 같은지 확인해보세요 커넥트 번역 봉사단 | 고정민