멱의 법칙 반대로 적용하기 복습 (개념 이해하기) | 부정적분

역의 멱의 법칙이란 무엇일까요?

멱의 법칙을 역으로 사용하면

n \neq - 1

일 때

x^{n}

인 형태의 방정식을 적분하는 방법을 알 수 있습니다:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

근본적으로 지수를 하나 증가하고 지수

+ 1

의 값으로 나누는 것입니다.

이 법칙은

n = - 1

일 때는 적용되지 않습니다.

역의 멱의 법칙을 외우는 것보다, 이것을 도함수 멱의 법칙에서 도출할 수 있음을 기억하는 것이 더 유용합니다.

역의 멱의 법칙에 대해 더 알고 싶나요? 이 동영상을 확인해 보세요.

멱의 법칙을 역으로 사용하면 어느 다항식이던 적분할 수 있습니다. 예를 들어 단항식

3 x^{7}

의 적분을 고려해 봅시다:

\begin{aligned} \int 3 x^{7} d x & = 3 (\frac{x^{7 + 1}}{7 + 1}) + C \\ = 3 (\frac{x^{8}}{8}) + C \\ = \frac{3}{8} x^{8} + C \end{aligned}

항상 결과를 미분해서 적분을 검산할 수 있다는 것을 기억하세요!

연습문제 1

\int 14 t d t = ?

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멱의 법칙을 역으로 사용해 적분을 구할 땐

- 1

을 제외한 모든 음수인 지수를 사용 가능합니다. 예를 들어

\frac{1}{x^{2}}

의 적분을 고려해 봅시다:

\begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2}} d x & = \int x^{- 2} d x \\ = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} + C \\ = \frac{x^{- 1}}{- 1} + C \\ = - \frac{1}{x} + C \end{aligned}

연습문제 1

\int 8 t^{- 3} d t =

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역의 멱의 법칙을 사용해

x

의 지수가 분수인 방정식의 경우에도 적분이 가능합니다. 예를 들어

\sqrt{x}

의 적분을 고려해 봅시다:

\begin{aligned} \int \sqrt{x} d x & = \int x^{^{\frac{1}{2}}} d x \\ = \frac{x^{^{\frac{1}{2} + 1}}}{\frac{1}{2} + 1} + C \\ = \frac{x^{^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3} + C \end{aligned}

연습문제 1

\int 4 t^{\frac{1}{3}} d t = ?

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