평균값 정리

평균값 정리에 대해 알아보겠습니다 수학 용어와 기호에 대해 잘 이해한다면 직관적으로 알 수 있는 정리입니다 함수 f에 대해 이야기해봅시다 함수 f가 있다고 하고 이 함수에 대해 몇 가지 사실들이 주어집니다 a와 b 사이 닫힌 구간에서 연속이고 대괄호는 닫힌 구간이라는 의미입니다 여기에 대괄호를 써서 점 a를 포함시키고 오른쪽에도 대괄호를 쓰면 점 b도 포함시킨다는 의미입니다 그리고 연속은 a와 b 사이에서 함수가 끊기지 않고이어진다는 뜻입니다 또한 열린 구간 (a,b)에서 미분 가능하다고 합시다 이 말은, 점 a에서는 미분가능하지 않아도 되며 b에서도 가능하지 않아도 된다는 뜻입니다 미분 가능하다는 말은 a와 b 사이에서 도함수가 존재한다는 뜻입니다 a와 b 사이 열린 구간에서 미분 가능하고 이것이 평균값 정리를 쓸 수 있는 조건입니다 그림으로 나타내볼게요 이것이 함수의 y 축이고 여기는 x 축 입니다 그리고 구간을 그려볼게요 여기는 a로 잡고, 여기를 b로 잡을게요 그리고 함수가 이렇게 생겼다고 할게요 이 점의 x 값은 a이고 y 값은 f(a)입니다 이 점의 x 값은 b이고 y 값은 f(b)입니다 평균값 정리는 a와 b 사이 구간의 평균변화율과 어떤 점에서의 순간 변화율이 열린 구간 사이 적어도 한 점에서는 순간 변화율이 평균 변화율과 같을 것입니다 시각적으로 나타내볼게요 평균 변화율을 구해봅시다 점 a와 점 b 사이 평균 변화율은 할선의 기울기겠죠 이것이 할선이고 기울기를 생각해봅시다 평균값 정리는 이 구간 사이 어떤 점에서의 접선의 기울기가 할선의 기울기와 같아진다는 것입니다 여기쯤이 되겠네요 할선과 접선의 기울기가 같아집니다 여기도 같아지겠네요 접선의 기울기는 할선의 기울기와 같아집니다 직관적인 감으로도 알 수 있습니다 어떤 한 점에서의 순간변화율은 평균변화율과 같아질 것입니다 수학적으로는 어떻게 정리할까요? 일단 구간의 평균변화율을 구해봅시다 평균변화율은 할선의 기울기와 같습니다 x 변화율 분의 y 변화율이 되겠죠 y 변화율은 어떻게 구할까요? y 변화율은 f(b) - f(a)입니다 이것을 x 변화율로 나누면 됩니다 b - a로 나누면 됩니다 지금까지 한 것을 정리해볼게요 이것은 y = f(x)의 그래프입니다 할선의 기울기 즉, a와 b 사이의 평균변화율은 y의 변화율 이 그리스 알파벳 델타는 변화율을 나타냅니다 나누기 x의 변화율입니다 그리고 이 값과 같아요 평균값 정리는 만약 함수에 대해 이 두 가지를 알고 있다면 a와 b 사이의 어떤 x 값에서 즉, 열린구간 a와 b 사이 어떤 점c가 또는 c는 a보다 크고 b보다 작다고 할 수 있습니다 이 구간 (a,b)에 속하는 어떤 점c에서의 접선의 기울기는 평균변화율과 같습니다 이 말은, 구간 사이의 평균변화율은 어떤 점 c에서의 순간변화율과 같을 것입니다 이 그래프에서 여기가 c가 될 수도 있고 또는 여기가 c가 될 수도 있습니다 함수 f는 a와 b사이 닫힌 구간에서 연속이고 열린 구간에서 미분가능하고 수학적으로 표기한 것을 보면 여러분들은 이것이 무엇을 의미하나요?라고 물을 것입니다 정리하자면, 어떤 한 점에서의 순간변화율은 이 구간 어딘가에서 평균변화율과 같아진다는 것입니다 다음 강의를 통해 평균값 정리에 대해 좀더 알아봅시다