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주요 내용

평균값 정리를 위한 미분 가능성 확인

평균값 정리를 사용하기 위해서는 미분 가능해야 합니다. 그 이유를 배우고 문제를 풀면서 평균값 정리를 사용할 수 있는 조건을 배워 봅시다.
평균값 정리(MVT)는 중간값 정리나(IVT) 최대최소 정리(EVT) 같은 존재정리입니다. 이 개념 이해하기의 목표는 평균값 정리를 이해하고 적용하는 법을 배우는 것입니다.

평균값 정리와 그 조건

평균값 정리는 a에서 b 사이에서 미분 가능한 함수 f에는 언제나 f(c)를 구간의 평균 변화율과 같게 만드는 그 구간 사이의 수 c가 존재한다는 정리입니다.
f(c)=f(b)f(a)ba
그래프 상에서 이 정리에 따르면 두 종점 간의 호 사이에 호의 접선과 두 종점을 지나는 할선이 평행한 점이 있다고 할 수 있습니다.
함수의 그래프가 있습니다. 양의 x축은 표시되어 있지 않습니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 원점의 닫힌 원에서 시작해 위로 올라갔다가 약간 아래로 내려가고 제1사분면 상의 닫힌 원에서 끝납니다. 할선은 곡선의 두 종점을 잇습니다. 접선은 할선과 평행하며 종점 사이의 어떤 점을 지납니다.
평균값 정리가 적용되는 정확한 조건은 f가 개구간 (a,b)에서 미분 가능하고 폐구간 [a,b]에서 연속되는 경우입니다. 미분 가능함은 연속되다는 것을 내포하기 때문에 (a,b)에서 미분 가능하고 x=a, x=b에서 연속된다고 할 수도 있습니다.
개구간과 폐구간을 이야기할 때 ab 같은 매개변수를 사용하는 것은 수학적으로 정확하기 위함으로 이런 뜻이라고 할 수도 있습니다:
평균값 정리를 적용하기 위해서는 함수가 특정 구간에서 미분 가능하고 구간의 끝에서 연속되어야 합니다.

구간의 미분 가능 여부가 중요한 이유.

이 조건이 왜 중요한지 이해하기 위해 함수 f를 살펴봅시다. 함수는 x=ax=b 사이에 뾰족한 부분이 있고, 따라서 (a,b)에서 미분 가능하지 않습니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. 양의 x축은 왼쪽에서 오른쪽으로 a와 b의 값을 포함합니다. 그래프는 선분의 모음으로 이루어져 있습니다. 그 모음은 x = a 위의 닫힌 원에서 시작해 위로 움직였다가 급격히 선회하여 아래로 움직이고 시작점보다 위에 있는 x = b 위의 닫힌 원에서 끝납니다.
그렇기 때문에 함수는 가능한 접선이 두 개 뿐이고 둘 다 x=ax=b 사이 할선과 평행하지 않습니다.
함수 f의 그래프는 접선이 두 개이고 할선이 하나입니다. 접선 A는 제3사분면에서 시작해 선분을 따라 위로 올라가고 제1사분면에서 끝납니다. 접선 B는 제1사분면에서 시작해 선분을 따라 아래로 내려가 제1사분면에서 끝납니다. 할선은 선분의 두 종점을 잇습니다.

종점의 연속성이 중요한 이유.

이를 이해하기 위해 함수 g를 살펴봅시다.
함수 f의 그래프가 있습니다. 양의 x축은 왼쪽에서 오른쪽으로 a와 b의 값을 포함합니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 x = a 위의 닫힌 원에서 시작해 위로 움직였다가 점점 급격히 위로 움직이고 x = b 위의 닫힌 원에서 끝납니다.
g(a,b)에서 미분 가능하고 x=ax=b가 연속되기만 하다면 평균값 정리를 적용할 수 있습니다.
함수 g의 그래프는 접선과 할선을 가지고 있습니다. 접선은 제4사분면에서 시작해 위로 가며 곡선과 만나고 제 1사분면에서 끝납니다. 할선은 곡선의 두 종점을 잇습니다.
이제 g를 바꾸어 x=b에서 연속되지 않도록 해 봅시다. 다르게 말하면 한쪽 극한 limxbg(x)는 같게 유지하되 함숫값은 다르게 바꾸는 것입니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. 양의 x축은 왼쪽에서 오른쪽으로 a와 b의 값을 포함합니다. 그래프는 곡선입니다. 곡선은 x = a 위의 닫힌 원에서 시작해 위로 움직였다가 점점 급격히 위로 움직이고 x = b 위의 닫힌 원에서 끝납니다. 닫힌 점은 x = b로, 시작점 x = a 밑에 있습니다. 할선은 두 닫힌 원을 연결합니다.
당연하게도 구간 내 가능한 접선은 증가하지만 할선은 감소하고 있다는 점을 주의하세요. 따라서 할선과 평행한 접선이 존재하지 않습니다.
일반적으로 함수가 종점에서 연속적이지 않다면 할선은 그 구간 동안 접선과 연결되지 않습니다.
문제 1에서 다른 구간에서의 함수 h에서 평균값 정리의 적용 가능성에 대해 분석해 보도록 합시다.
문제 1.A
함수 h의 그래프가 있습니다. x축은 -8에서 8까지 나와 있습니다. 그래프는 곡선과 선분으로 이루어져 있습니다. 곡선은 제1사분면에서 시작해 아래로 움직이다가, 세로로 움직이고(-6,3) 닫힌 원(-3, -3)에서 끝납니다. 선분의 모음은 열린 원(-3, -5)에서 시작해 위로 움직이다 (6, 4)에서 급격히 선회하여 아래로 움직이다 (8, 2)에서 끝납니다.
h는 구간 [5,1]에서 평균값 정리를 적용 가능한가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
함수 f의 그래프는 x=2에 수직의 접선을 가지고 있습니다.
f는 구간 [1,5]에서 평균값 정리를 적용 가능한가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.
주의할 점: 평균값 정리를 적용할 수 없다는 것은 정리가 참임을 확신할 수 없다는 것이지 정리가 참이 아니라는 뜻이 아닙니다.
다르게 말하면 평균값 정리가 적용되지 않더라도 접선이 할선과 같은 점이 있을 수도 있다는 뜻입니다. 단지 평균값 정리의 조건이 만족되지 않으면 확신할 수 없다는 뜻입니다.
예를 들어 이전 문제에서 구간 [1,5]에서 f에 평균값 정리를 적용할 수 없었지만 구간 [1,5] 사이에는 접선이 두 종점의 할선과 평행인 점이 두 개 있습니다.
함수 f의 그래프가 있습니다. x축은 -2에서 8까지 나와 있습니다. 그래프는 곡선으로 이루어져 있습니다. 곡선은 제3사분면에서 시작해 점 (-1, -3)까지 아래로 움직이다가 위로 움직이고, 그 후 세로로 움직여 (2, 0)을 지나 점 (5, 3)까지 가고, 아래로 가다 (8, 0)에서 끝납니다. 두 평행한 접선은 둘 다 제3사분면에서 시작해 위로 움직이다 제1사분면에서 끝납니다. 위에 있는 접선은 곡선을 (2.8, 2.2) 주변에서 만납니다. 아래에 있는 접선은 곡선을 (1.2, -2.2) 주변에서 만납니다. 할선은 점 (-1, -3)과 (5, 3)을 연결합니다.
연습문제 3
이 표는 함수 h의 값 몇 개를 나타냅니다.
x371011
h(x)1526
제임스는 h(7)h(3)73=1이기 때문에 구간 [3,7] 안에 h(c)=1을 만드는 수 c가 있어야만 한다고 했습니다.
어떤 조건이 제임스의 주장을 참으로 만드나요?
정답을 한 개 고르세요:

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 조건이 언제 만족되는지 알아보지 않는 것

연습문제 3을 예로 들어 봅시다. 다음은 흔히 평균값 정리의 조건이 나타나는 방식입니다:
  • h(3,7)에서 미분 가능하고 [3,7]에서 연속됩니다.
  • h(3,7)에서 미분 가능하고 x=3x=7에서 연속됩니다.
하지만 이런 방식으로 함수에 대한 정보가 주어지는 것은 아닙니다. 예를 들어 만약 h[3,7]에서 미분 가능하다고 한다면, 미분 가능함은 연속성을 내포하기 때문에 조건을 만족합니다.
또 다른 예는 (2,8)처럼 h가 넓은 구간에서 미분 가능한 경우입니다. 연속성을 말하지 않아도 (2,8)에서 미분 가능하면 (3,7)에서 미분 가능하고 [3,7]에서 연속됨을 유추할 수 있습니다.
연습문제 4
f는 미분 가능한 함수입니다. f(1)=2, f(5)=2입니다.
각 결론을 알맞은 존재정리와 연결해 보세요.
1

흔한 실수: 틀린 존재정리의 적용

이제 세 개의 존재정리, 중간값 정리, 최대최소 정리, 평균값 정리에 익숙해졌을 것입니다. 이 셋은 비슷한 구조를 가지고 있지만 다른 조건을 가지며 다른 내용을 보장합니다.
  • 중간값 정리는 함수가 두 값 사이에 특정 값을 가짐을 보장합니다.
  • 최대최소 정리는 함수의 최댓값과 최솟값이 어디에 있는지를 보장합니다.
  • 평균값 정리는 어떤 점의 도함수가 특정 값을 가짐을 보장합니다.
존재정리 중 하나를 적용하기 전에 어떤 정리를 사용해야 하는지 알 만큼 충분히 문제를 이해하세요.