곡선의 기울기인 도함수

이번 수업에서는 미분계수가 순간변화율 또는 곡선의 가파름 또는 곡선의 기울기 또는 접선의 기울기가 될 것이라는 직관에 대해 맞는지 알아보겠습니다 여기 f'(5)라고 쓰여 있는데 여기서 '(프라임)은 x=5일때의 f(x)의 미분계수를 예측해 보자라는 말과 같습니다 x=5에서의 미분계수는 x=5에서의 접선의 기울기 또는 x에 따른 y의 변화율이라고 생각할 수 있는데 이것은 곧 우리가 x에 대한 함수 f의 기울기를 정의하는 방법입니다 그럼 생각을 해 봅시다 점 (5,f(5))가 여기 있네요 접선의 기울기를 구하려면 이 곡선의 가파른 정도를 예상하려면 이 점과 접한 선을 하나 그어 보면 좋겠지요. 그럼 해 봅시다 여기서 시작하는 접선을 그리려면 이렇게 될 겁니다 바로 이 점이 곡선의 가파른 정도를 나타냅니다 자, 비선형그래프에서 흥미로운 점은 항상 기울기가 변한다는 것이죠 여기서는 아주 완만하고 오른쪽으로 이동할수록 x값이 커질수록 점점 더 가팔라집니다 그런데 문제의 점을 봅시다. x=5에서 f'(x)는 이 접선의 기울기를 구하는 것과 같습니다 그리고 이 선에서는 x방향으로 한 칸씩 갈때마다 y방향으로 두 칸씩 가기에 x값의 변화량이 1일때 y값의 변화량은 2입니다 즉 x에 대한 y의 변화량은 적어도 이 접선에서는 이 점에서의 x에 대한 y의 변화율과 같고 2/1=2가 되겠네요 나머지 선택지는 다 틀렸습니다 미분계수가 -2이면 x가 증가할수록 y가 감소한다는 것이겠지요 그래서 접선이 이렇게 생겼을 때 기울기는 -2가 될 것입니다 기울기가 0.1이면 여기 밑에서 아주 완만한 접선만이 기울기가 0.1이 되겠지요 -0.1의 기울기는 이쪽에서 아주 살짝 기울어진 접선입니다 기울기가 0이라면 최하단에 x값이 변화해도 y값은 증가하지도 않고 감소하지도 않는 꼭짓점의 접선의 기울기가 0이 되겠네요 그래서 제 답에 확신이 갑니다 이런 유형의 문제를 하나 더 풀어봅시다 자, 이 문제는 x=4에서의 미분계수와 x=6에서의 미분계수 중 어느 것이 더 큰지 비교하는 문제입니다 동영상을 잠깐 멈추고 이 문제를 스스로 풀어보세요 풀어보죠 자, 이 점에서의 기울기를 나타내는 접선을 기울기를 나타내는 접선을 이렇게 그어보겠습니다 흠, 별로 잘 못그렸네요. 그래서 여기에 다시 하겠습니다 좀 더 잘 그릴 수 있을것 같습니다 너무 옅어요 잘못 그렸군요 다시 한번 잘 그려보겠습니다 꽤 괜찮은 것 같아요 제가 방금 그린 저 선은 x에 대한 y값의 변화율 즉, 곡선의 기울기 또는 접선의 기울기를 나타내는 듯 합니다 접선의 기울기를 잠깐 살펴보고 밑의 점으로 넘어갑시다 여기 이건 분명 가파르지만 음의 기울기를 가지고 있네요 이렇게 생각해 보세요 x값이 1만큼 커질수록 y는 1정도 작아지는듯 하네요 그래서 x=4일때 g의 미분계수는 대략 -1이고 여기 이쪽에서는 x값을 1만큼 증가하면 y값이 3정도로 줄어들기에 x=6일때의 g의 미분계수는 -3에 가까워 보이네요 자, 그럼 어떤 숫자가 클까요? 이 미분계수가 더 적게 음의 방향으로 가기 때문에 다른 미분계수보다 크겠지요 이 문제를 직관적으로 곡선만 보고 풀 수도 있었습니다 이 곡선은 사인 곡선과 비슷하네요 이 점은 곡선이 직선이 되는 바로 그 자리네요 x값에 따라 y값이 변하지 않다가 변화율이 작아지고 더 빠르게 작아지고 매우 빠르게 작아지다가 아직 작아지긴 하지만 더 느리게 작아집니다 그리고 바로 이 점에서 접선의 기울기가 0이고 그 다음부터 계속 증가합니다 이 패턴이 반복되죠 이렇게 직관적으로 생각 해 볼 수도 있습니다