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주요 내용

합성 함수의 미분법

여태까지 배웠던 합성함수와 합성 함수의 미분법에 관한 지식을 바탕으로 합성 함수의 미분법을 사용하여 합성함수의 도함수를 구해 봅시다.
합성함수의 미분법에 따르면 다음과 같습니다:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
이는 합성함수를 어떻게 미분을 할지 알려줍니다.

합성함수 복습하기

f(g(x))와 같이 쓸 수 있다면 이는 합성함수입니다. 혹은 함수 안에 함수가 있거나 함수의 함수가 있다면 합성함수입니다.
예를 들어 cos(x2)f(x)=cos(x)g(x)=x2일 경우 cos(x2)=f(g(x))이기 때문에 합성함수입니다.
함수 g 는 함수 f 안에 포함되어 있기 때문에 g는 "내부 함수"이며 f는 "외부 함수"입니다.
cos( x2내부 )외부
하지만 cos(x)x2은 합성함수가 아닙니다. 이는 f(x)=cos(x)g(x)=x2이지만 어떤 한 함수가 다른 함수의 내부 함수가 아닙니다.
연습문제 1
g(x)=ln(sin(x))는 합성함수인가요? 만약 그렇다면 어떤 함수가 "내부 함수"이고 어떤 함수가 "외부 함수"인가요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 합성함수인지 아닌지 판단하지 못하는 것

합성함수인지 판단하는 방법은 보통 합성함수의 미분법을 이용하는 것밖에 없습니다. 함수가 합성함수이며 연쇄법칙을 적용해야 한다는 것을 모르면, 미분을 정확하게 할 수 없을 것입니다.
반면 합성함수가 아닌 함수에 합성함수의 미분법을 적용하면 틀린 도함수가 나오게 됩니다.
특히 초월함수(예를 들어, 삼각함수나 로그함수)의 경우, 학생들은 종종 ln(sin(x))와 같은 합성함수들을 ln(x)sin(x)와 같은 곱 형태의 함수들과 헷갈리곤 합니다.
연습문제 2
h(x)=cos2(x)은 합성함수인가요? 만약 그렇다면 어떤 함수가 "내부 함수"이고 어떤 함수가 "외부 함수"인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 해보고 싶나요? 다음 연습 문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 내부 및 외부 함수를 잘못 판단하는 것

어떤 함수가 합성함수라는 것을 알아냈다고 해도, 내부 함수와 외부 함수를 헷갈리면 잘못된 도함수가 나오게 됩니다.
예를 들어, 합성함수 cos2(x)에서, 외부 함수는 x2이고 내부 함수는 cos(x)입니다. 학생들은 종종 cos(x)를 외부 함수로 헷갈리곤 합니다.

합성함수의 미분법 적용의 예제

h(x)=(56x)5을 미분해 보며 합성함수의 미분법을 어떻게 적용해야 하는지 살펴봅시다. h가 합성함수라는 것에 주목하세요:
h(x)=( 56x내부 )5외부g(x)=56x내부 함수f(x)=x5외부 함수
h가 합성함수이므로, 이를 합성함수의 미분법을 이용해 미분할 수 있습니다:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)
말로 설명하자면, 이 법칙은 합성함수의 도함수는 내부 함수 g가 외부 함수의 도함수 f 안에 있는 형태에다, 내부 함수의 도함수 g가 곱해진 것이라는 사실을 말하고 있습니다.
법칙을 적용하기 전, 먼저 내부와 외부 함수의 도함수를 구합시다:
g(x)=6f(x)=5x4
이제 합성함수의 미분법을 적용합시다:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4

합성함수의 미분법 적용 연습하기

3.A
3번 문제 세트는 sin(2x34x)를 미분하는 과정을 차근차근 보여줄 것입니다.
sin(2x34x)의 내부와 외부 함수는 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 4
ddx[cos(x)]=?
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 해 보고 싶나요? 다음 연습문제를 풀어보세요.
연습문제 5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어 보세요.
연습문제 6
케이티는 (2x24)3을 미분했습니다. 케이티의 풀이과정은 다음과 같습니다:
1단계: f(x)=x3, g(x)=2x24로 두면, (2x24)3=f(g(x))입니다.
2단계: f(x)=3x2
3단계: 도함수는 f(g(x))입니다:
ddx[(2x24)3]=3(2x24)2
케이티의 풀이는 올바른가요? 만약 아니라면, 어디에서 실수를 했을까요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 내부 함수의 도함수에 곱하는 것을 잊어버리는 것

학생들이 흔히 하는 실수는 외부 함수만 미분하여 f(g(x))가 나오는 것인데, 올바른 도함수는 f(g(x))g(x)입니다.

또 다른 흔한 실수: f(g(x))의 계산

또 다른 흔한 실수는 f(g(x))를 도함수들의 합성 형태인 f(g(x))로써 미분하는 것입니다.
이것 역시 틀렸습니다. f(x) 안에 있어야 함수는 g(x)가 아니라 g(x)입니다.
기억하세요: f(g(x))의 도함수는 f(g(x))g(x)이며, f(g(x)) 혹은 f(g(x))가 아닙니다.