곱함수 미분하기

x에 관한 도함수 식인 e^x*cos(x)를 봅시다 x에 관한 도함수 식인 e^x*cos(x)를 봅시다 x에 관한 도함수 식인 e^x*cos(x)를 봅시다 비디오를 멈춰 보시고 문제를 풀기 전에 스스로 먼저 구해봅시다 이 식을 보면 e^x 의 도함수는 자신있게 e^x 라고 말할 수 있을 것입니다 위쪽에 우리가 알고 있는 몇가지를 먼저 적어봅시다 우리는 e^x의 도함수는 e^x 임을 알고 있습니다 또한 cosx의 도함수는 -sinx임을 알고 있습니다 (cosx)'= -sinx 입니다 두 식을 곱한 e^x cosx의 도함수는 어떻게 구할까요? 여기서 곱의 미분법을 사용하면 됩니다 일반적인 함수에 대한 곱의 미분법에 대해 먼저 적어보겠습니다 x에 대해 미분한 도함수를 구할 것입니다 x에 대한 함수 u(x)와 x에 대한 또다른 함수 v(x)의 곱인 u(x)v(x)라는 함수를 x에 대해 미분한 식을 여기 색에 따라 적어보겠습니다 여기 색에 따라 적어보겠습니다 처음 적힌 식의 도함수인 처음 적힌 식의 도함수인 u'(x)와 두번째 적힌 식의 도함수가 아니라 그 함수인 v(x)의 곱을 적습니다 u'(x)v(x)에 첫번째 식의 도함수가 아니라 첫번째 식인 u(x)와 두번째 식의 도함수인 v'(x)의 곱인 u(x)v'(x)를 더하면 됩니다 곱의 미분법에서 기억해야하는 것은 두 식의 곱을 미분하면 우변에 적힌 것처럼 두개의 서로 다른 항이 얻어진다는 것입니다 한 식의 도함수와 또 다른 식의 곱 한 식과 또 다른 식의 도함수의 곱의 합입니다 (u(x)v(x))'는 u'(x)v(x)+u(x)v'(x)입니다 이 식이 약간은 추상적이어서 와닿지 않을 수 있지만 문제에 적혀있는 확실한 예를 통해 알아보도록 합시다 색이 칠해져있는대로 따라오면 됩니다 위 식에서의 u(x)는 문제상에서 e^x 이고 v(x)=cosx입니다 v(x)=cosx입니다 u(x)=e^x이고 우리는 e^x의 도함수를 알고 있습니다 e^x를 미분해도 e^x인 것은 수학에서 가장 마법같은 것 중에 하나로 e의 특별한 성질이 만들어낸 결과입니다 u'(x)=e^x입니다 마찬가지로 v'(x)는 -sinx임을 알고 있습니다 v'(x)= -sinx 이제 e^x cosx의 도함수를 구해봅시다 이제 e^x cosx의 도함수를 구해봅시다 첫번째 식의 도함수인 e^x와 두번째 식의 곱을 적으면 됩니다 두번째 식의 도함수가 아니라 두번째 식 자체입니다 e^x cosx 가 되고 첫번째 식의 도함수가 아니라 첫번째 식 그대로에 두번째 식의 도함수를 곱하면 됩니다 두번째 식의 도함수를 곱하면 됩니다 e^x 와 -sinx의 곱이 되겠습니다 e^x 와 -sinx의 곱이 되겠습니다 이 부분에서 첫번째 식과 첫번째 식의 도함수가 같아서 혼란스러울 수 있습니다 여기에 적힌 e^x는 e^x가 아니라 e^x의 도함수라는 것을 잊지 않으시면 됩니다 e^x 함수의 특별한 성질입니다 여기의 e^x는 도함수가 아니라 e^x 그대로 적은 식입니다 어쨌든 이제 식을 간단히 해봅시다 이 식은 e^x cosx에서 e^x sinx를 뺀 식이 되어 e^x cosx-e^x sinx가 됩니다 e^x cosx-e^x sinx가 됩니다 원하면 공통인수인 e^x로 묶어서 식을 적을 수도 있습니다 여기에서 e^x가 공통인수이기 때문에 여기에서 e^x가 공통인수이기 때문에 e^x (cosx-sinx) 입니다 이번에 푼 문제가 곱의 미분법을 조금더 명확하게 이해하는 계기가 되었기를 바랍니다 위의 식을 도구상자처럼 활용해서 더 다양한 함수식과 표현에 적용해보시기 바랍니다