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주요 내용

미분을 사용한 운동 문제 풀어보기

위치를 시간으로 나타낸 함수가 주어졌을 때, 속도와 가속도를 구해 봅시다.

동영상 대본

입자가 x축을 따라 움직이고 있습니다 함수 x(t)는 t≥0일 때 입자의 위치를 나타냅니다 함수 x(t)는 t≥0일 때 입자의 위치를 나타냅니다 x(t)는 여기 주어졌습니다 t = 2일 때 입자의 속력 v(t)는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 여기서 중요한 것은 시간에 대한 속도의 함수는 위치 함수의 도함수입니다 따라서 이것은 이 위의 t에 대한 도함수를 구하면 됩니다 t에 대한 t³의 도함수는 t²입니다 이게 익숙치 않다면 멱의 법칙을 복습하세요 t에 대한 -4t²의 도함수는 -8t입니다 t에 대한 -4t²의 도함수는 -8t입니다 t에 대한 3t의 도함수는 3입니다 상수의 도함수는 시간에 따라 바뀌지 않기 때문에 0입니다 이제 시간에 대한 속도의 함수가 생겼습니다 v(2)를 고하려면 t에 2를 대입하기만 하면 됩니다 이건 3 x 4가 됩니다 3 x 2²이니까요 따라서 12에 8 x 2인 16을 빼고 3을 더하면 -1입니다 -1이라고만 하면 속도같아 보이지 않는다 생각할 수 있습니다 만약 단위가 주어졌다면 x가 m이고 t가 초라고 했다면 x가 m이고 t가 초라고 했다면 아 이미 x가 m라고 했네요 그러면 속도는 -1m/s입니다 음수는 어떤 의미냐고요? 음수는 어떤 의미냐고요? 왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다 x축에서 움직이고 있기 때문에 따라서 속도가 음수라면 x가 줄어든다거나 왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다 t = 3일 때 입자의 가속도는 얼마일까요? t = 3일 때 입자의 가속도는 얼마일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 여기서는 가속도가 시간에 대한 함수라는 것을 알아야 합니다 속도의 도함수이고 위치 함수의 이계도함수입니다 이것의 도함수입니다 이것의 도함수입니다 무엇이 되냐면 t에 대한 3t²의 도함수는 6t입니다 t에 대한 -8t의 도함수는 -8입니다 t에 대한 -8t의 도함수는 -8입니다 상수의 도함수는 0입니다 따라서 이는 6t - 8입니다 따라서 t = 3일 때 가속도는 6 x 3인 18에서 -8을 뺀 10입니다 좋습니다 이제 t = 2일 때 입자 움직임의 방향을 물어보네요 이미 말하긴 했지만 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 이미 여기서 부호를 확인했습니다 속도에 음수 부호가 있다는 것은 왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다 이것을 고릅니다 t = 3일 때 입자의 속력은 증가하나요, 감소하나요 아니면 둘 다 아닌가요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 아주 조심해야 합니다 입자의 속도가 증가하는지, 감소하는지 아니면 둘 다 아닌지 묻는다면 그냥 가속도만 보면 됩니다 가속도가 양수이므로 속도가 증가하고 있음을 알 수 있습니다 하지만 여기는 속도가 아니라 속력입니다 기억을 돕자면 속력은 속도의 크기입니다 따라서 t = 2일 때 속도는 -1입니다 만약 단위가 m/s라면 -1m/s입니다 하지만 속력은 1m/s죠 속력은 방향을 따지지 않습니다 그러니 여기 부호가 필요 없습니다 따라서 속력이 증가하는지 감소하는지 아니면 둘 다 아닌지 보려면 가속도가 양수고 속도가 양수면 속도의 크기가 증가하고 있다는 뜻입니다 따라서 속력이 증가하고 있는 것이죠 속도가 음수고 가속도도 음수면 이 또한 속력이 증가한다는 뜻입니다 하지만 속도와 가속도의 부호가 다르다면 속력은 감소합니다 속도의 크기가 줄어들겠죠 그러면 t = 3일 때 속도를 봅시다 여기로 돌아가서 3 x 9인 27에 3 x 9인 27에 24를 빼고 3을 더하면 3을 더하면 6이 나옵니다 따라서 속도와 가속도가 모두 같은 방향입니다 둘 다 양수이죠 따라서 속도는 계속해서 더 큰 양수가 되고 속도의 크기는 계속 증가하기 때문에 따라서 속력은 증가합니다 만약 속도가 t = 3에 음수였다면 속력은 감소했을 것입니다 속도와 가속도가 다른 방향으로 가기 때문입니다