할선 & 평균변화율

여기에 y = x²의 그래프가 있습니다 적어도 그래프의 일부분은 y = x²을 따릅니다 처음으로 해야 할 것은 y 대비 x의 평균변화율을 구하는 것입니다 x가 1에서 3일 때까지의 구간에 걸쳐서 말이죠 한 번 적어보겠습니다 우리가 알고 싶은 것은 y 대비 x의 평균변화율입니다 x가 1에서 3일 때까지의 구간에 걸쳐서 말이죠 이는 닫힌 구간입니다 x는 1이 될 수도 있고 3이 될 수도 있죠 이제 그래프를 보지 않고도 문제를 풀 수 있습니다 여기 표를 하나 만들어 봅시다 왼쪽 열이 x고 오른쪽 열이 y = x²입니다 x가 1일 때 y는 1²이며 이는 1입니다 그래프에서도 볼 수 있죠 x가 3일 때 y는 3²이며 이는 9입니다 그래프에서도 x가 3일 때 y는 9가 되는 것을 볼 수 있습니다 y 대비 x의 평균변화율을 구하려면 먼저 x의 변화량을 구해야 합니다 표에서 볼 수 있듯이 이 구간에서 x의 변화량은 양수 2인 것을 알 수 있죠 같은 구간에서 y의 변화량은 얼마일까요? y의 변화량은 x가 1에서 3으로 2만큼 커졌을 때 y는 8만큼 커지므로 변화량은 양수 8입니다 그럼 평균변화율은 얼마인가요? 이는 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 것이며 이는 y의 변화량에서 x의 변화량을 나눈 것이며 이는 8 / 2 즉 4입니다 이것이 평균변화율입니다 이 구간에서 평균적으로 x가 1만큼 커질 때 y는 4만큼 커집니다 그리고 이것을 어떻게 계산했죠? x의 변화량을 살펴보았죠 여기 그려보겠습니다 x의 변화량을 살펴보았고 y의 변화량을 살펴보았습니다 바로 이것이죠 그리고 평균변화율을 구하기 위해 y의 변화량 /x의 변화량을 계산했습니다 이것이 익숙하기 느껴지는 이유는 여러분이 이미 두 점을 잇는 직선의 기울기를 y의 변화량/x의 변화량으로 생각하는 데 익숙해져 있기 때문이죠 우리가 계산한 방법도 그것이고요 만약 이 두 점 사이에 할선을 긋는다면 우리가 방금 계산한 값은 이 할선의 기울기와도 같습니다 따라서 두 점 사이의 평균변화율은 할선의 기울기와도 같습니다 할선을 해당 구간에 걸친 곡선과 비교함으로써 평균변화율의 의미에 대해 여러분이 시각적인 이해를 가지게 되었기를 바랍니다 이 구간의 시작점에서 할선이 빠른 속도로 커지다가 3에 가까워지면서 노란색 곡선이 할선보다 더 빠른 속도로 커지게 되며 결국은 두 선이 서로 만납니다 이것이 할선의 기울기가 평균변화율인 이유입니다 이 평균변화율이 모든 점에서의 변화율과 정확히 같을까요? 전혀 아닙니다 곡선의 변화율은 지속적으로 바뀌고 있습니다 구간의 시작점에서는 평균변화율보다 느린 변화율을 가지지만 3에 가까워지면서 더 빠른 변화율을 가지게 됩니다 즉 이 구간에 걸쳐서 y의 변화량 /x의 변화량은 정확히 같습니다 이제 여러분은 한 가지 질문이 떠오를 텐데 이것을 미적분 수업에서 배우는 이유가 무엇일까요? 대수학 수업에서 배워도 되지 않았을까요? 그에 대한 답은 "그렇다"입니다 하지만 흥미로운 점은 이것입니다 또한 이것은 미적분의 기본 개념 중 하나이기도 합니다 이 점들이 서로 가까워지면 무슨 일이 일어날까요? 우리는 1과 3 사이의 평균변화율 또는 (1, 1)에서 (3, 9) 사이의 할선의 기울기를 구했습니다 하지만 (2, 4)와 (3, 9) 사이 할선의 기울기를 구했다면 어땠을까요? 이 기울기를 구했다면요? 그런데 두 점이 이보다도 가까워지면 어떨까요? 이제 다음 두 점 사이의 할선의 기울기를 구한다고 해 봅시다 (2.5, 6.25)와 (3, 9) 사이의 할선 그리고 두 점이 만약 점점 더 가까워지면 어떻게 될까요? 이 할선들의 기울기는 x가 3일 때의 접선의 기울기와 점점 가까워질 겁니다 이 접선의 기울기를 찾을 수 있다면 문제가 해결됐습니다 왜냐하면 그렇게 되면 평균변화율이 아닌 순간변화율이 논점이 되며 바로 그것이 도함수의 중심 개념이기 때문입니다 곧 그것도 배우게 될 것입니다 하지만 지금 중요한 것은 두 점 사이의 평균변화율이 할선의 기울기와 동일하다는 것입니다 그리고 두 점이 서로 가까워지면서 할선 또한 점점 더 가까워지는 두 점을 잇는 선이 되고 두 점 사이의 거리 즉 두 점의 x값의 차가 0에 가까워지게 되면 흥미로운 일들이 일어난다는 것입니다