극한이란?

번역 : 하울소년 (melomilo@naver.com) 이번 비디오에서는 극한에 대해서 대략적으로 설명하도록 하겠습니다. 이는 정말정말 중요한 것이죠. 솔직히 말한다면 미적분학은 극한을 기초로 만들어졌습니다. 하지만, 엄청나게 중요한 것에 반해, 정말정말정말 간단합니다. 그렇다면, 제가 함수를 하나 그려보죠. 아니, 함수를 하나 정의해보죠. 조금 간단한 함수인데요.. 그렇다면, 이제 f(x)라는 함수를 정의해보죠. f(x)는 (x-1)/(x-1)이라고 해보죠. 그런데 여러분은 이렇게 말하실 수도 있습니다. Sal(선생님 이름), 분모와 분자가 똑같으면 1로 줄여도 되지 않나요? 이걸 f(x)=1으로 줄여도 되지 않나요? 저는 이렇게 말할 겁니다. 흠... 거의 맞았습니다. 하지만, f(x)=1과 이 함수의 차이점은 이 함수는 x가 1일 때에 정의가 되지 않다는 것이죠. 왜냐하면 당신이 이렇게 f(0) 죄송합니다. f(0)아니라 f(1) 을 쓰게 되면, 분모는 0이 되고 분자도 0이 되는데 무엇을 0으로 나눈 것은 (0/0을 포함해서) 정의가 안됩니다. 이것은 정 의 되 지 않 습 니 다. 이 함수를 간단하게 쓸 수 있습니다. 이렇게 쓸 수 있죠. 이 함수는 지금 말하려고 하는 것과 같다고 할 수 있습니다. f(x)=1, 하지만, 조건이 있어야 됩니다. x는 1이 될 수 없습니다. 이것과 이것은 같습니다. 둘 다 x가 1이 아닐 때 값은 1과 같습니다. 그리고 x가 1일 때, 값은 정의되지 않습니다. 그렇다면, 이 함수는 어떻게 그릴까요? 그려보도록 하겠습니다. 이건 y=f(x) 축이고요, y=f(x)축 그리고 이것은 x축입니다. x축. 그리고 이 점은 x=1입니다. 그리고 이것은 x=-1 이것은 y=1이죠. 여기에 -1도 할 수 있겠지만 이것은 이 함수에서는 별로 상관이 없죠. 그렇다면, 이제 그려보도록 하겠습니다. 이것은 말하자면, x가 1이 아닌 x에 대해 f(x)=1입니다. 그래서 이렇습니다. 1을 포함하지 않을 때 말이죠. 1일 때에는 정의되지 않습니다. 이렇게 중간에 띄어 두죠. 이 동그라미는 정의되지 않다는 것을 말해줍니다. 정의하지 않았죠. 이 함수는 x=1일 때 무슨 값을 가지는지 말해주지 않고있습니다. 이것은 한 마디로 정의되지 않습니다!!! x=1일 때 말이죠. 그래서 말하자면, 이것은 여기 있는 함수죠. 한번 더 말하자면, 누가 f(1)무엇인지 물어본다면, 그리고 이것이 함수의 그래프라면, 여러분은 이렇게 하면 됩니다. 흠.. x=1... 어, 여기에 틈이 있네! 이것은 정의되지 않네요! 그렇다면 다시 써보도록 하겠습니다. f(1)은 정의되지 않는다. 그렇다면, 제가 1에 최대한 근접할 때 어떻게 되는지 물어보면 어떻게 하실 건가요? 이것은 점점 극한의 개념에 다가가고 있습니다. 그렇다면, x가 1에 게속 가까워진다면, 계속 가까워진다면, 가까워지는 함수의 값은 어떻게 될까요? 이 함수는 무엇에 계속 가까워지고 있나요? 왼쪽에서 접근 할 때에, 1에 아무리 가까워진다고 해도, f(x)=1입니다. 오른쪽에서도 똑같게 되죠. 이제 여러분은 이렇게 말할 수 있습니다. (이제 예를 몇개 더 본다면 더 극한의 개념에 대해 잘 이해를 할 수 있게 될 것입니다.) x가 1에 극한한다면, 아, 이 lim은 limit을 줄여서 lim입니다. f(x)는 1이 된다. 가까워진다면, 정말정말로, 무한대로 1에 가까워질 수 있습니다. 1이 아니라면 말이죠. 이 함수는 1이 되겠습니다. 계속 가까워진다면 말이죠. 여기에서 우리는 이렇게 말할 수 있습니다. x가 1으로 극한할 때, f(x)은 1이다. 이 식은 x가 1에 무한히 근접할 때 f(x)가 무엇인지 나타내는 식입니다. 그렇다면, 한 개의 예를 더 들어보죠. 곡선을 다루는 예를 들어보도록 하겠습니다. 극한의 개념을 잘 이해할 수 있게 하기 위해서 말이죠. 그렇다면, f(x)가 아니, 다양하게 하기 위해서 g(x)라고 하죠. g(x)가 x가 2가 아닐 때 x^2라고 하고, x가 2일 때에는 1이라고 해봅시다. 한 번 더, 흥미로운 함수를 접했습니다! 이 함수는 연속적이지 않죠. 이것은 불연속적인 곳이 있죠. 그려보도록 하겠습니다. 이 축은 y=f(x)축입니다. 이것은 x축입니다. x=2를 그려보죠. 이것이 x=1이라고 하고, 이것이 x=2라고 해보죠. 이것은 -1 이것은 -2라고 해봅시다. 그리고 이제 이것을 그려보죠. x=2가 아닌 모든 곳에서 x^2입니다. 이렇게 그려보도록 하겠습니다. 포물선이 되겠죠. 이것과 비슷하게 나오겠습니다. 조금 더 잘 그려보도록 하겠습니다. 이렇게~~~~~ 이렇게 비슷하게 보이겠네요. 이것은 정말 잘 그린 포물선은 아니죠 ㅎㅎ;; 포물선을 그리는 미술의 역사에 견주어 봤을 때 말이죠 ㅎㅎ;; 여러분은 포물선이 무엇인지 다행스럽게 알 것이라고 생각합니다. 이것은 대칭이어야죠. 한번 더 그려보도록 하겠습니다. 이게 정말 이상하기 때문이죠. 와우. 이렇게 되었네요. 이 그래프는 x^2이죠. 하지만, 이것은 x가 2일 때 x^2가 아니죠. 다시 한번, x=2일 때, 불연속적이어야 되겠네요. 그래서, 여기 틈을 그려보도록 하겠습니다. 왜냐하면, x=2일 때, 이 함수의 값는 1이 되기 때문이죠. 이것은 정확하지는 않지만, f(x)=x^2에서, 여기는 4이고 여기는 2고 여기는 1이고 여기는 3이 되겠네요. 그러니까, x=2일 때, g(x)는 1이 되는 것이죠. 그러니까, x=2일 때에 g(x)는 1이 되겠죠. 조금 이상한 함수인데, 이렇게 함수를 정의해도 되죠. 함수는 아무렇게나 정의해도 되죠. 이것은 f(x)=x^2와 정말 똑같은데, x=2일 때 여기 작은 틈새가 있다는 점이 다르죠. 왜냐하면, x=2일 때에는 f(x), 아니 g(x)가 1이 되겠죠. f(x)라고 말한 거 정말 죄송합니다. g(x)=1이 되겠죠! 그렇다면, x=2일 때에는 정확히 2에서는 1이고 다시 올라갑니다. x^2라는 함수에 따라서 말이죠. 그렇다면, 제가 드리는 문제는 이것입니다. 여러가지 있습니다. 만약에 제가 함수의 값을 다시 구하자면, g(2)는 무엇일까요? x=2일 때에는 이것이 되니까, 1이 되겠네요. 그렇다면, 조금 더 흥미로운 문제를 여쭤보겠습니다. x가 2로 극한할 때, g(x)의 극한값은 얼마일까요? 좀 복잡한 표시법이지만, 나타내는 바는 정말정말 간단합니다. 이것은 x이 2에 정말정말 가까워진다면, g(x)는 무엇에 극한하느냐? 라는 것을 나타냅니다. 이것은 x값이 1.9, 1.999, 1.999999,1.99999999999으로 2에 극한할 때에, g(x)가 무엇으로 극한하느냐? 아니면, 오른쪽에서 접근한다면, 2.1, 2.01, 2.001으로 2에 극한할 때에 g(2)는 무엇이 되느냐? 라는 것이죠. 그래프에서 본다면, x=2일 때에 4로 극한한다는 것을 볼 수 있습니다. 물론, g(2)는 4가 아니지만, 극한값은 4가 되는 것이죠! 이것은 계산기를 사용해서 계산할 수도 있습니다. 한번 해보겠습니다. 정말 흥미롭겠네요. 계산기를 꺼내보겠습니다. 저의 믿을 수 있는!! TID-5를 꺼내보죠! (TID인지 잘 모르겠네요 ㅎㅎ;;) 여기 있습니다. 그렇다면, 이렇게 말할 수 있습니다. x가 2로 극한할 때, 무엇이 되느냐. x가 1.9가 된다면, 1.9^2가 되겠죠. 3.61이 되네요. 조금 더 가까워지면 어떻게 될까요? 1.99가 된다면 말이죠. 이것을 제곱해 보겠습니다! 3.96이 되네요! 1.999일 때에는 어떻게 될까요? 제곱해 본다면, 3.996가 되네요! 보자면, 4에 가까워지고 있습니다! 그리고, 정말정말 정말 정말 가까워진다면, 1.999999999999(?)제곱은 정확하게 4가 안되지만, 이 계산기가 반올림을 해 버렸지만, 4에 정말정말정말 가까워집니다. 그렇다면, 양수쪽에서도 접근해보죠.(오른쪽) 정확하게 말하자면, 아래쪽과 위쪽에서 접근했을 때, 결과가 같아야 됩니다! 2.1을 제곱하면, 4.41이 나옵니다. 조금 띄어서 가보죠! 2.0001을 제곱하면, 4.00040001이 됩니다! 이렇게 2에 가까워질수록 4에 가까워집니다! x가 2로 극한 할 때에 숫자적으로 접근해보면, x=2일 때에는, 이 함수의 값은 1이지만, 극한값은 4에 정말정말정말 가까워집니다!