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주요 내용

계승과 의자에 앉는 경우의 수

의자에 앉는 예제를 통해 조금 어려운 계승 문제를 풀어 봅시다.

동영상 대본

이번 시간에는 순열에 대하여 알아봅니다 용어는 어려워 보이지만 그 개념은 간단한데요 수를 나열하는 방식입니다 수를 나열하는 방식입니다 경우의 수가 얼마나 있을까요? 좀 더 구체적으로 파악하기 위해 소파를 이용한 예시를 들어봅시다 소파에는 세 명이 앉을 수 있습니다 첫 번째 자리는 1번 두 번째 자리는 2번 마지막 자리는 3번입니다 세 자리에 앉으려는 사람들이 있습니다 세 자리에 앉으려는 사람들이 있습니다 A, B, C 이 세 자리에 사람들이 앉을 수 있는 경우의 수는 얼마일까요? 강의를 멈추고 스스로 풀어보세요 이 문제에 접근하는 여러 가지 방식이 있습니다 그 중 하나는 모든 가능성을 생각해보는 것입니다 그 중 하나는 모든 가능성을 생각해보는 것입니다 체계적으로 할 수 있죠 좋습니다 A가 1번에 앉고 B가 2번에 앉고 C가 3번에 앉는다고 해봅시다 다른 경우도 있죠 A가 1번에 앉고 B와 C의 자리를 바꿉니다 그러면 이렇게 되겠죠 A가 1번에 앉는 모든 경우를 나타냈습니다 1번에 다른 사람을 앉혀봅시다 B가 1번에 앉습니다 A가 2번에 C가 3번에 앉습니다 아니면 B가 1번에 앉고 A와 C를 바꿉니다 C, A 그리고 C가 1번에 앉고 A, B가 차례로 앉습니다 혹은 C가 1번에 앉고 B, A가 차례로 앉습니다 가능한 모든 순열을 나타내었습니다 가능한 모든 순열을 나타내었습니다 1, 2, 3 4, 5, 6 나쁘지 않은 방식이네요 일반적으로 3개의 공간과 3개의 대상이 있다면 직접 할 수 있습니다 하지만 이런 상황이라면 상당히 복잡해집니다 100개의 자리가 있고 100명의 사람들이 있습니다 100개의 자리가 있고 100명의 사람들이 있습니다 수학적으로 어떻게 풀어야 하나요? 방법이 있습니다 이 방법은 방금 한 것처럼 몇 명의 사람들이 있고 몇 개의 자리가 있든지 사용할 수 있는 방법입니다 아까 1번부터 시작하였는데 1번 자리에 아무도 없다고 가정하면 그 자리에 앉는 경우의 수는 몇 가지일까요? 1번 자리에 3명이 앉을 수 있습니다 보다시피 말이죠 이것은 A가 1번에 앉은 경우이고 이것은 B가 이것은 C가 앉은 경우입니다 세 가지 각각의 경우에서 2번 자리에 앉는 경우의 수는 얼마일까요? A가 1번에 앉았으니 2번에 앉는 경우의 수는 2가지입니다 B가 1번에 앉으면 2번에 앉는 경우의 수는 2가지입니다 C가 1번에 앉으면 다른 말을 했네요 2번에 앉는 경우의 수는 2가지입니다 따라서 2가지 경우가 있습니다 다르게 푸는 방법은 다음과 같습니다 한명이 1번에 앉는 경우는 3가지이고 남은 2명이 2번째 자리에 앉을 수 있습니다 여기 순열로 나타낸 것처럼 말이죠 그렇다면 1번과 2번에 앉는 경우의 수는 몇 가지일까요? 곱하면 됩니다 3과 2를 곱합니다 1번에 앉는 경우 3가지 2번에 앉는 경우 2가지 3번에 앉는 경우는 어떤가요? 1번과 2번에 누가 앉았는지 알고 있다면 3번에 앉는 경우는 1가지입니다 이렇게 생각할 수 있습니다 두 명이 이미 앉았다면 3번에 앉는 사람은 한 명 뿐입니다 수학적으로 계산하면 3 × 2 × 1 입니다 이것이 바로 팩토리얼인데요 글자 그대로 이 숫자에서 시작하여 1만큼 뺀 값을 계속해서 곱해줍니다 1만큼 뺀 값을 계속해서 곱해줍니다 1이 될 때까지 말이죠 따라서 3! = 6입니다 따라서 3! = 6입니다 여기서 구한 것과 동일하죠 이를 응용하가 위해 다른 예제를 풀어봅시다 5개의 자리가 있습니다 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 5명의 사람들이 있습니다 A, B, C, D, E A, B, C, D, E 5개의 자리에 5명이 앉는 경우의 수는 몇 가지인가요? 강의를 멈추고 스스로 해보세요 바로 구할 수 있습니다 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 = 20 20 × 3 = 60 60 × 2 = 120 120 × 1 = 120 무슨 말인지 알겠죠? 1번에 아무도 없다면 거기에 앉는 경우는 5가지입니다 그 다음 2번에 앉는 경우는 4가지입니다 1번과 2번에 앉는 경우는 20가지입니다 3번에 앉는 경우는 3가지입니다 60가지 중에서 4번에 앉는 경우는 2가지입니다 4번 자리까지 앉았으므로 5번에 누가 앉는지 알 수 있습니다 따라서 총 경우의 수는 120가지입니다